Spis treści serii

Wspomnieliśmy już o czymś takim, jak długość wektora, jednak nic o tym, co to właściwie jest. Na płaszczyźnie sprawa jest prosta - gdy przesuniemy się o $v_x$ w osi $x$ i $v_y$ w osi $y$, odległość między punktami początkowym i końcowym wynosi $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ (co można zobaczyć, rysując trójkąt prostokątny i korzystając z twierdzenia Pitagorasa - patrz rysunek). Nie zawsze jednak musi to tak wyglądać i tu wkracza metryka.

Metryka to sposób na uogólnienie twierdzenia Pitagorasa. Nie zawsze współrzędne odpowiadają odległościom wzdłuż prostopadłych osi i nie zawsze da się utworzyć takie współrzędne (ale nie uprzedzajmy faktów). Chcemy zatem mieć jakiś sposób liczenia odległości między punktami przesuniętymi o $\Delta x^\mu$, gdy $x^\mu$ to współrzędne określone w jakiś bliżej niesprecyzowany sposób.

(więcej…)

Spis treści serii

Podstawowym obiektem w OTW jest czasoprzestrzeń. Jako obiekt matematyczny formalnie jest to rozmaitość różniczkowa, ale na nasze potrzeby wystarczy fakt, że jest to pewien zbiór punktów, zwanych zdarzeniami, które można opisywać współrzędnymi. W przypadku OTW czasoprzestrzeń jest 4-wymiarowa, co oznacza, że potrzebne są 4 współrzędne - jedna czasowa i trzy przestrzenne.

Współrzędne można nazywać w zasadzie dowolnie (np. $x$, $y$, $z$, $t$), ale ponieważ wielokrotnie potrzebne będzie odwoływanie się do całej czwórki współrzędnych naraz, wygodnie jest oznaczyć je numerami. Przyjęło się oznaczać współrzędną czasową jako 0, a pozostałe 1, 2, 3. Współrzędną nr $\mu$ będziemy zapisywać tak: $x^\mu$ (uwaga: w tym przypadku to nie jest potęgowanie!). $\mu$ w tym przypadku nazywane jest indeksem lub wskaźnikiem (tutaj: górnym). Konwencjonalnie, kiedy mamy na myśli jedną ze wszystkich 4 współrzędnych, używamy litery greckiej; jeśli chodzi o którąś ze współrzędnych przestrzennych, używamy liter łacińskich.

(więcej…)

Spis treści serii

Jak wspomniałem we wstępie, zakładam, że Czytelnik zna pojęcie pochodnej funkcji. Jest to dobra podstawa, ale żeby wgłębić się w teorię względności, potrzebujemy to pojęcie nieco rozszerzyć. Zapoznamy się zatem z pochodną cząstkową. Cóż to takiego?

Przypomnijmy sobie najpierw zwykłą pochodną. Pochodną funkcji $f(x)$ zapisujemy jako $f'(x)$ lub $\frac{df}{dx}$. Oznacza ona, łopatologicznie mówiąc, tempo zmiany funkcji f w miarę zmieniania argumentu x. Przykładowo, gdy $f(x) = x^2$, $\frac{df}{dx} = 2x$.

Co jednak, gdy funkcja zależy od więcej niż jednej zmiennej? Np. możemy mieć funkcję $f(x,y) = x^2 + y^2$, która każdemu punktowi płaszczyzny przypisze kwadrat jego odległości od początku układu współrzędnych. Jak w ogóle określić pochodną takiej funkcji?

(więcej…)