Co jednostajny ruch obrotowy ma wspólnego z ruchem przyspieszonym?

ebvalaim 2021-08-18 0 Comments

Zaskakująco dużo, zwłaszcza jeśli spojrzeć z punktu widzenia teorii względności. Ale po kolei.

Przyspieszenia w Ogólnej Teorii Względności

Jeśli nie zapomnieliście jeszcze materiału z początków lekcji fizyki, pamiętacie zapewne, jak zdefiniowane jest przyspieszenie - jako zmiana prędkości w czasie. Matematycznie uściśla się to jako pochodną prędkości po czasie i można zapisać: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$. I ta definicja jest świetna, ale w Ogólnej Teorii Względności, jak to zwykle z nią bywa, sprawy nieco się komplikują.

Problem polega na tym, że w kontekście OTW naprawdę niewygodnie operuje się pojęciami, które polegają na jakimś konkretnym podziale czasoprzestrzeni na przestrzeń i czas. Ze względu na to, że czasoprzestrzeń może być krzywa, kierunek który jest czasowy w jednym miejscu może nie mieć żadnego przełożenia na kierunek czasowy w innym miejscu. Często też wygodnie operuje się w abstrakcyjnych układach współrzędnych, które nie mają oczywistych związków z odległościami czy czasem. W związku z tym wielkość, która jest pochodną czysto przestrzennego wektora takiego jak prędkość po wyróżnionej współrzędnej czasowej, nie zawsze jest czymś szczególnie przydatnym.

Dodajmy jeszcze do tego fakt, że w kontekście OTW przyspieszenie pod wpływem grawitacji jest bardziej iluzją niż faktycznym przyspieszeniem, i bałagan urośnie jeszcze bardziej.

Czy istnieje zatem jakaś wielkość pokrewna przyspieszeniu, która nie ma wspomnianych wyżej wad? Otóż istnieje. Ale by ją opisać, potrzebujemy wprowadzić najpierw trochę kontekstu.

Linie świata i czteroprędkość

Opis ruchu w OTW bardzo mocno opiera się o pojęcie linii świata. Czym są linie świata, opisałem szerzej w notce Zdarzenia i czasoprzestrzeń. W skrócie: linia świata ciała to krzywa w czasoprzestrzeni reprezentująca historię tego ciała - gdzie się znajdowało w konkretnych momentach czasu.

Linię świata, jak każdą krzywą, możemy opisać w postaci parametrycznej $x^\mu(t)$ (patrz Część 4 - krzywe i ich długość). Parametr może być tutaj wybrany dowolnie, ale częstym wyborem jest czas własny ciała $\tau$. Wtedy czas między zdarzeniami na linii świata ciała $x^\mu(\tau_1)$ i $x^\mu(\tau_2)$, zmierzony przez zegar poruszający się razem z ciałem, będzie wynosił po prostu $\tau_2 - \tau_1$.

Taka parametryzacja ma jeszcze jedną zaletę. Wektor styczny do tak zdefiniowanej krzywej $u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$ jest zawsze wektorem jednostkowym. Tj., $g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu = 1$.

Taki jednostkowy wektor styczny do linii świata ciała nazywa się czteroprędkością tego ciała. Czemu? Bo reprezentuje on szybkość zmian czterech współrzędnych ciała w czasoprzestrzeni względem jego czasu własnego, a zatem ma w odległy sposób coś wspólnego z pojęciem prędkości (która klasycznie jest szybkością zmian trzech współrzędnych ciała w przestrzeni względem jakiegoś niezależnego czasu).

Czteroprzyspieszenie

Teraz możemy przejść do kwestii pojęcia "ulepszonego" przyspieszenia. Jak już zapewne się domyśliliście po tytule podrozdziału, to pojęcie to czteroprzyspieszenie.

Podobnie jak przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie, tak czteroprzyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie własnym. Ale uwaga - jest tu pewien haczyk!

Otóż nie możemy liczyć tej pochodnej naiwnie, jako $\frac{du^\mu}{d\tau}$. Problem z pochodną czteroprędkości liczoną w ten sposób jest taki, że nie jest to wielkość tensorowa. Co to znaczy?

Tensory określone na danej przestrzeni mogą być reprezentowane jako pewne zestawy współrzędnych, np. wektor w czasoprzestrzeni można przedstawić jako jego 4 współrzędne. Ale nie każda czwórka współrzędnych jest wektorem. Cecha, która stanowi o tym, czy dany zestaw liczb jest tensorem, czy nie, to "odpowiednie" zachowanie przy zmianach układu współrzędnych. W dużym skrócie, kiedy przechodzimy ze współrzędnych $x^\mu$ do współrzędnych $y^\mu$, które są funkcjami $y^\mu(x^\nu)$, wektory powinny transformować się w ten sposób, że jeśli wektor ma współrzędne $u^\mu$ we współrzędnych $x$, to powinien mieć współrzędne $\frac{\partial y^\mu}{\partial x^\nu} u^\nu$ we współrzędnych $y$. I czteroprędkość spełnia ten warunek, ale zwykła pochodna czteroprędkości po czasie własnym już nie.

Aby jako czteroprzyspieszenie uzyskać poprawny wektor, potrzeba pewnych poprawek. Te poprawki można wyrazić symbolami Christoffela (patrz Geodezyjne - od intuicji do równań). Zamiast liczyć naiwną pochodną po czasie własnym, wprowadzimy pochodną wzdłuż krzywej:

$$D_\tau v^\mu = \frac{dv^\mu}{d\tau} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\tau} v^\sigma$$

Czteroprzyspieszenie możemy wtedy zdefiniować jako pochodną czteroprędkości wzdłuż krzywej:

$$a^\mu = D_\tau \frac{dx^\mu}{d\tau} = \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau}$$

Tak zdefiniowana wielkość już jest tensorem (wektorem), natomiast nie są tensorem symbole Christoffela $\Gamma^\mu_{\nu\sigma}$.

Zwróćmy uwagę, że kiedy czteroprzyspieszenie jest 0, to mamy:

$$0 = \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau}$$

co jest niczym innym, jak równaniem geodezyjnej! Nie jest to przypadek - linie świata ciał w ruchu swobodnym są geodezyjnymi, a ruch swobodny to ruch bez przyspieszenia.

Transport równoległy

Zdefiniowana wyżej pochodna wzdłuż krzywej pozwoli nam również zdefiniować pojęcie transportu równoległego. Intuicyjnie ujmując, wektor jest transportowany równolegle wzdłuż krzywej, jeśli w miarę przesuwania się wzdłuż krzywej wektor wciąż jest skierowany "w tym samym kierunku". Problem w tym, co znaczy "w tym samym kierunku" w krzywej przestrzeni - ale tu właśnie z pomocą przychodzi nam pochodna wzdłuż krzywej.

Otóż powiemy, że wektor jest transportowany równolegle, jeśli jego pochodna wzdłuż krzywej wynosi 0:

$$D_\tau v^\mu = 0$$

Zwróćmy uwagę, że gdy linia jest geodezyjna, to czteroprędkość jest wzdłuż niej transportowana równolegle! W tym sensie geodezyjna też odpowiada intuicji związanej z liniami prostymi - wektor styczny do geodezyjnej nigdzie po drodze nie "skręca", tylko ciągle jest skierowany "w tym samym kierunku". Tak samo jest z liniami prostymi w przestrzeniach, w których takowe istnieją.

Możemy też powiedzieć, że jeśli pochodna wektora wzdłuż krzywej nie wynosi zero, to wynik jest miarą tego, jak bardzo wektor "skręca" i w którym kierunku. To się nam za chwilę przyda.

Ruch obrotowy

Wyobraźmy sobie, że nasze ciało, którego ruch opisujemy, ma jakąś orientację. Tzn. ma jakieś określone kierunki "w przód", "w górę", "w prawo". Jak rozpoznać, kiedy to ciało się obraca i jeśli się obraca, to jak szybko?

Orientacja naszego ciała wyznacza jakiś lokalny układ współrzędnych. Powiedzmy, że oś x tego układu jest skierowana w prawo, oś y w przód, oś z w górę. Oczywiście te kierunki mają odniesienie tylko do orientacji naszego ciała - w samej przestrzeni jako takiej żadne takie kierunki mogą nie być wyróżnione. Czasoprzestrzeń jest jednak czterowymiarowa, potrzebujemy więc jeszcze jednego kierunku - czasu.

Powiedzmy, że te lokalne kierunki naszego ciała są określone wektorami. Ponumerujmy te wektory od 0 do 3, gdzie 0 to kierunek czasowy, 1 - oś x, 2 - oś y, 3 - oś z. Mamy zatem jakieś wektory $v_0$, $v_1$, $v_2$, $v_3$. Lokalny kierunek czasowy naszego ciała wyznacza nam nie co innego, a jego czteroprędkość, zatem $v_0^\mu = u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$. Pozostałe kierunki mogą być zasadniczo dowolne, będziemy wymagać tylko dwóch rzeczy:

• Wektory wyznaczające te kierunki powinny być wektorami jednostkowymi, tj. $g_{\mu\nu} v_i^\mu v_i^\nu = -1$ dla i = 1,...3 (minus stąd, że są to kierunki przestrzenne - ich "kwadraty długości" będą wobec tego ujemne). Czteroprędkość już zdefiniowaliśmy wcześniej jako mającą długość 1.
• Wektory powinny być do siebie ortogonalne, tj. $g_{\mu\nu} v_i^\mu v_j^\nu = 0$ dla $i \neq j$.

Taki zbiór jednostkowych, ortogonalnych wektorów nazywa się zwykle bazą ortonormalną.

W miarę upływu czasu (własnego!), wektory bazy mogą się jakoś zmieniać. Zmiany mogą wynikać z przyspieszania, ale mogą wynikać też z obrotów. Zmierzając dalej w kierunku znalezienia jakiegoś opisu ilościowego tych zmian, oznaczmy przez $a_i$ pochodne poszczególnych wektorów wzdłuż linii świata, tzn.:

$$a_i = D_\tau v_i$$

(Czyli $a_0$ to znane nam już czteroprzyspieszenie.)

Każdy z tych wektorów można rozłożyć na składowe w naszej bazie ortonormalnej. Takie rozkłady robi się przy pomocy iloczynów skalarnych. Oznaczmy zatem:

$$a_{ij} = g_{\mu\nu} (D_\tau v_i^\mu) v_j^\nu$$

Wykorzystajmy teraz, że $g_{\mu\nu} v_i^\mu v_j^\nu$ są stałe. To oznacza, że gdy zróżniczkować te iloczyny skalarne wzdłuż linii świata, otrzymamy same zera. Zatem:

$$0 = D_\tau (g_{\mu\nu} v_i^\mu v_j^\nu) = (D_\tau g_{\mu\nu}) v_i^\mu v_j^\nu + g_{\mu\nu} (D_\tau v_i^\mu) v_j^\nu + g_{\mu\nu} v_i^\mu (D_\tau v_j^\nu)$$

Tak się szczęśliwie składa, że $D_\tau g_{\mu\nu}$ jest zawsze 0. Dzieje się tak dlatego, że pochodna wzdłuż krzywej to tak naprawdę pochodna kowariantna wzdłuż wektora stycznego do krzywej, a pochodna kowariantna metryki jest z definicji 0. Pojęcie pochodnej kowariantnej jest oparte na tej samej idei co pochodna wzdłuż krzywej - jest to sposób różniczkowania tensorów, który daje w wyniku wielkości tensorowe. W pewnym sensie, jest to bardziej "prawdziwy", geometryczny opis zmian wielkości tensorowych, niż naiwne pochodne cząstkowe po współrzędnych. Dokładniejsze jej omówienie to niestety temat na cały osobny artykuł, więc na tym tu poprzestaniemy.

Oprócz tego, metryka jest symetryczna ($g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$), a więc otrzymujemy:

$$0 = a_{ij} + a_{ji}$$

Co w szczególności oznacza, że $a_{ii} = 0$ dla wszystkich $i$.

Możemy więc zapisać $a_{ij}$ jako:

$$a_{ij} = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & -a_x & -a_y & -a_z \\ a_x & 0 & -\omega_z & \omega_y \\ a_y & \omega_z & 0 & -\omega_x \\ a_z & -\omega_y & \omega_x & 0 \end{array} \right]$$

I tu już trochę zaspoilerowałem dalszy ciąg, bo nieprzypadkowo użyłem oznaczeń $a$ i $\omega$, kojarzonych z przyspieszeniem i prędkością kątową ;)

Skąd nagle przyspieszenie i prędkość kątowa?

Oznaczmy przez $\eta_{ij}$ macierz $g_{\mu\nu}v_i^\mu v_j^\nu$:

$$\eta_{ij} = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right]$$

Nietrudno zobaczyć, że $D_\tau v_i = a_{ij} \eta_{jk} v_k$ (gdzie w tym zapisie co prawda nie ma wskaźników na górze i dole, ale też w domyśle sumujemy po $j$ i $k$). Zobaczmy bowiem:

$$g_{\mu\nu} (a_{ik} \eta_{kl} v_l^\mu) v_j^\nu = a_{ik} \eta_{kl} \eta_{lj} = a_{ik} \delta_{kj} = a_{ij}$$

($\delta_{ij}$ to delta Kroneckera - macierz jednostkowa.)

Powyższe jest prawdą dla dowolnych $i$ i $j$, zatem $a_{ik} \eta_{kl} v_l$ musi być równe $D_\tau v_i$.

Zobaczmy zatem co to oznacza:

1. $D_\tau v_0 = a_x v_1 + a_y v_2 + a_z v_3$ - tzn., czteroprzyspieszenie jest wektorem, który ma składową $a_x$ wzdłuż osi x, składową $a_y$ wzdłuż osi $y$ oraz składową $a_z$ wzdłuż osi z. Można zatem śmiało uznać liczby $a_x$, $a_y$, $a_z$ za współrzędne przyspieszenia w lokalnym układzie współrzędnych :)
2. $D_\tau v_1 = a_x v_0 + \omega_z v_2 - \omega_y v_3$ - tzn. pochodna wzdłuż linii świata wektora wyznaczającego oś x ma składową czasową $a_x$, składową $\omega_z$ w osi y i składową $-\omega_y$ w osi z.
3. Analogicznie dla $v_2$ i $v_3$.

Przyjrzyjmy się punktowi 2. Składowa czasowa to coś czego nie było w klasycznej, nierelatywistycznej fizyce i tu ona też znika, jeśli ciało akurat nie przyspiesza. Skupmy się jednak na chwilę na części przestrzennej wektora wskazującego oś x, która wynosi $[0, \omega_z, -\omega_y]$.

Zastanówmy się, jak wyglądałyby pochodne po czasie wektora wskazującego oś x w przypadku obracającego się układu współrzędnych. Ogólnie w takim przypadku mamy $\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{\omega} \times \vec{v}$. W przypadku gdy $\vec{v} = [1, 0, 0]$ to daje $\frac{d\vec{v}}{dt} = [0, \omega_z, -\omega_y]$ - widać uderzające podobieństwo ;) Podobne wyniki otrzymalibyśmy analizując wektory w kierunkach osi y i z. Dlatego odpowiednie współczynniki w macierzy $a_{ij}$ wyżej oznaczyłem właśnie literką $\omega$.

I faktycznie - jest bardzo sensownym zdefiniować przyspieszenie i prędkość kątową w lokalnym układzie współrzędnych w ten sposób. Jeśli rozważymy linię świata i wektory orientacji statku kosmicznego i obliczymy jego przyspieszenie i prędkość kątową tak jak tutaj, to przyspieszenie będzie przeciwnie skierowane do sił bezwładności odczuwanych przez załogę, a prędkość kątowa określi pojawienie się takich zjawisk jak siła odśrodkowa czy siła Coriolisa.

Co zatem mają wspólnego ruch przyspieszony i ruch obrotowy?

I to jest właśnie ciekawa kwestia. Jak widać, prędkość kątowa jest w kontekście teorii względności w pewnym sensie pokrewna przyspieszeniu. I jedna, i druga wielkość wynikają w jakiś sposób z pochodnych wektorów wyznaczających lokalny układ współrzędnych wzdłuż linii świata ciała.

Jest to o tyle interesujące, że są to też wielkości fundamentalnie różne. Aby ciało przyspieszało, musi na nie działać siła. Np. w kontekście statku kosmicznego, musimy użyć silników, aby nadawać przyspieszenie. Jeśli wyłączymy silniki, przyspieszenie zniknie. Natomiast raz nadana prędkość kątowa nie zniknie, dopóki nie zostanie aktywnie wyhamowana. Tzn. jeśli statek uruchomi silniczki manewrowe i się rozkręci, wyłączenie ich nie spowoduje zniknięcia prędkości kątowej - aby przestać się kręcić, będzie musiał włączyć silniczki w przeciwną stronę.

Natknąłem się na ten problem kilka lat temu, gdy pisałem swoje symulatory czarnych dziur. Potrzebowałem wtedy jakoś zamodelować obrót statku kosmicznego w sposób, który byłby wewnętrznie spójny - i badając ten temat, odkryłem że mogę ująć przyspieszenie i prędkość kątową w jedną macierz. Prawdę mówiąc, do tej pory nie jestem pewien, jakie są pełne konsekwencje tego faktu. Być może żadne i to tylko ciekawostka. Być może jednak wynika z tego coś więcej. Podejrzewam, że już ktoś się na to natknął przede mną, ale nie trafiłem na żadną pracę na ten temat - jeśli, drogi Czytelniku, wiesz o tym coś więcej, napisz w komentarzu! Chętnie się dowiem, czy ma to jakieś głębsze znaczenie.

Tymczasem zostawię Was z tym po prostu jako z ciekawostką, jedną z wielu, na jakie można się natknąć, eksplorując złożony świat Ogólnej Teorii Względności :)