Nietypowe własności hiperbolicznych kwadratów

ebvalaim 2024-09-20 0 Comments

...czyli jak głupawy mem zainspirował złożone obliczenia dotyczące geometrii nieeuklidesowej 😅

Wszystko zaczęło się od poniższego memu:

Podejrzewam, że nie trzeba go tłumaczyć, ale na wszelki wypadek napiszę, w czym rzecz. Otóż jeśli rozstawimy 4 osoby w wierzchołkach kwadratu o boku 6 stóp (czyli ok. 1,8 metra, ale to nie jest zbyt istotne), to między osobami po przekątnych odległość nie będzie już wynosiła 6 stóp, a około 8,4 stopy (konkretnie, 6√2). To wynika z geometrii kwadratu i twierdzenia Pitagorasa (stąd dymek w dolnej części obrazka).

I na "haha, no tak, tak nie może być" można by było zakończyć, ale okazuje się, że sprawa ma drugie dno! Pewien znajomy żartobliwie skomentował ten mem tak: "każda normalna osoba powiedziałaby: hej, to działa - w przybliżeniu - na płaszczyźnie hiperbolicznej!" - i to wzbudziło moje zainteresowanie.

Moim pierwszym odruchem nie byłoby rozważanie płaszczyzny hiperbolicznej, tylko po prostu rozmieszczenie osób w wierzchołkach czworościanu. Wtedy odległości między każdą parą osób mogą być równe. Z tym że to wymaga albo wyjścia w 3 wymiary, albo - jeśli chcemy trzymać się 2 wymiarów - geometrii sferycznej, nie hiperbolicznej. (Wierzchołki czworościanu można umieścić na sferze i traktować powierzchnię sfery jako "płaszczyznę w geometrii sferycznej.)

Kiedy o tym wspomniałem, znajomy rozwinął nieco temat. Otóż według jego obliczeń, dla dużych kwadratów na płaszczyźnie hiperbolicznej, stosunek długości przekątnej do długości boku dąży do 1 - czyli w odpowiednio dużym kwadracie, przekątne mogą mieć prawie taką samą długość jak boki. Czyli gdyby krzywizna płaszczyzny hiperbolicznej była na tyle duża, żeby 6 stóp było już duże w porównaniu z promieniem krzywizny, to przekątne w takim kwadracie również miałyby około 6 stóp.

Ale nie byłbym sobą, gdybym po prostu uwierzył mu w tej kwestii na słowo 😉 Postanowiłem przeliczyć to sam, i w tym artykule pokażę Wam, jak to zrobiłem.

Wprowadzenie do geometrii hiperbolicznej

O geometrii hiperbolicznej można myśleć na wiele sposobów. Jednym z popularniejszych jest model dysku Poincarégo. Ja na potrzeby tego ćwiczenia pomyślałem sobie tak:

Wyobraźmy sobie zwykłą płaszczyznę i jakiś punkt na niej. Zacznijmy zakreślać okręgi o środku w tym punkcie. Każdy z tych okręgów ma jakiś promień i obwód. I tak się składa, że na zwykłej, euklidesowej płaszczyźnie, okrąg o promieniu $r$ ma obwód $l(r) = 2\pi r$.

Ale tak nie musi być. Gdybyśmy zaczęli zakreślać coraz większe okręgi na powierzchni Ziemi, na przykład, okazałoby się, że im większy okrąg, tym jego obwód coraz bardziej odbiega od $2\pi r$ - a konkretnie, jest mniejszy. Dokładniej, okazałoby się, że poprawnym wyrażeniem na obwód okręgu na Ziemi jest $2 \pi R \sin \frac{r}{R}$, gdzie $R$ wynosi ok. 6371 km - konkretnie, jest to promień Ziemi jako kuli. Okrąg o promieniu 10000 km miałby już obwód nie 62832 km, a około 40000 km - całkiem znacząca różnica.

No, ale powierzchnia Ziemi rządzi się geometrią sferyczną i ma dodatnią krzywiznę. Geometria hiperboliczna jest geometrią powierzchni o ujemnej krzywiźnie. Ile wynosiłby obwód okręgu o promieniu 10000 km na powierzchni o ujemnej krzywiźnie, ale takim samym promieniu krzywizny, jak Ziemia?

Wyrażenie na obwód okręgu na płaszczyźnie hiperbolicznej to $l(r) = 2\pi R \sinh \frac{r}{R}$. Zwykły sinus z wyrażenia na sferze jest tu zastąpiony sinusem hiperbolicznym (czym są funkcje hiperboliczne, opisałem nieco dokładniej tutaj). Kiedy wstawimy $R$ równe 6371 km i $r$ równe 10000 km, otrzymamy w tym przypadku obwód 92000 km - znacząco więcej niż euklidesowe 62832 km! I ten obwód rośnie z promieniem bardzo szybko, bo niemal wykładniczo. 3 razy większy promień okręgu - 30000 km - dałby już obwód 2,2 miliona km! Na płaszczyźnie hiperbolicznej jest całkiem sporo "nadmiarowego" miejsca...

I tak mniej więcej można sobie wyobrażać geometrię hiperboliczną. Tak, jak w geometrii sferycznej okręgi rosną wolniej, niż w euklidesowej, tak w hiperbolicznej rosną szybciej. I z tym wiąże się wiele ciekawych problemów, ale nie do końca o tym miał być ten artykuł. Mieliśmy policzyć sobie parę rzeczy odnośnie hiperbolicznych kwadratów, więc przejdźmy na razie do tego.

Hiperboliczne kwadraty

Za hiperboliczny kwadrat uznamy 4 punkty rozmieszczone symetrycznie dookoła jakiegoś środka, połączone liniami "prostymi" w sensie geometrii naszej hiperbolicznej płaszczyzny - tj., geodezyjnymi.

Jak zdefiniować te punkty? Jest wiele możliwych sposobów, ja postanowiłem użyć współrzędnych biegunowych, tj. odległości od początku układu współrzędnych i kąta dookoła początku układu liczonego od jakiegoś wyróżnionego kierunku. Takie współrzędne typowo definiuje się na płaszczyźnie euklidesowej, ale nic nie stoi na przeszkodzie, by wprowadzić je również na płaszczyźnie hiperbolicznej.

Drobną różnicą między płaszczyzną euklidesową a płaszczyzną hiperboliczną będzie metryka w tych współrzędnych. O ile na płaszczyźnie euklidesowej metryka wygląda następująco:

$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\varphi^2$$

O tyle na płaszczyźnie hiperbolicznej mamy takie wyrażenie:

$$ds^2 = dr^2 + R^2 \sinh^2 \frac{r}{R} \, d\varphi^2$$

$R$, tak jak wcześniej, gra tutaj rolę promienia krzywizny powierzchni. Jeśli przyjmiemy promień krzywizny za naszą jednostkę odległości, tak że będzie wynosił on 1, wyrażenie mocno się uprości:

$$ds^2 = dr^2 + \sinh^2 r \, d\varphi^2$$

Przypomina to dość mocno metrykę jednostkowej sfery:

$$ds^2 = d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta \, d\varphi^2$$

tylko z sinusem hiperbolicznym zamiast zwykłego i współrzędną $r$ zamiast $\vartheta$ (która, jak tutaj dobrze widać, gra w pewnym sensie rolę współrzędnej radialnej na sferze).

Dobra, ale co z tym kwadratem? W takich współrzędnych możemy sobie zdefiniować wierzchołki kwadratu jako znajdujące się w punktach: $(\frac{d}{2}, \frac{\pi}{4})$, $(\frac{d}{2}, \frac{3\pi}{4})$, $(\frac{d}{2}, -\frac{3\pi}{4})$, $(\frac{d}{2}, -\frac{\pi}{4})$. Wszystkie 4 wierzchołki są w odległości $\frac{d}{2}$ od środka, co oznacza, że przekątne takiego kwadratu będą miały długość $d$ i będą przecinały się w początku układu współrzędnych.

Długość boków oznaczmy za to przez $a$. Oprócz tego, zdefiniujmy jeszcze jedną wartość: oznaczę ją $r_{min}$, i będzie to minimalna odległość każdego z boków od początku układu współrzędnych (patrz ilustracja poniżej).

W euklidesowym kwadracie, $r_{min}$ byłoby równe po prostu $\frac{a}{2}$, ale jak zobaczymy, na płaszczyźnie hiperbolicznej nie ma tak łatwo.

Obliczenia

To, co chcielibyśmy otrzymać, żeby sprawdzić twierdzenie mojego znajomego, to wyrażenie na długość przekątnej $d$ w zależności od długości boku $a$. Żeby tego dokonać, musimy wypisać sobie jakieś równania, które na takiej płaszczyźnie hiperbolicznej spełniają geodezyjne - w końcu boki kwadratu są geodezyjnymi.

Załóżmy zatem, że nasza geodezyjna jest sparametryzowana afinicznie w postaci $\tau \mapsto (r(\tau),\varphi(\tau))$. Afinicznie, znaczy zmiany parametru $\tau$ są równe długości krzywej pomiędzy punktami o poszczególnych wartościach parametru. A to znaczy, że wektor styczny do takiej geodezyjnej $v = (\dot{r}, \dot{\varphi})$ jest wektorem jednostkowym, tzn:

$$g(v, v) = \dot{r}^2 + \sinh^2 r \, \dot{\varphi}^2 = 1$$

Oprócz tego, zauważmy że żaden współczynnik w metryce nie zależy od współrzędnej $\varphi$ - to znaczy, że metryka ma symetrię obrotową i pole wektorowe $\partial_\varphi$ jest tzw. polem Killinga. To, co jest istotne, to że wzdłuż geodezyjnych iloczyn skalarny wektora stycznego i pola Killinga jest stały. W tym wypadku:

$$g(\partial_\varphi, v) = \sinh^2 r \, \dot{\varphi} = L = \textrm{const}$$

To oznacza, że poprzednie równanie możemy przekształcić do postaci:

$$\dot{r}^2 = 1 - \sinh^2 r \, \dot{\varphi}^2 = 1 - \frac{L^2}{\sinh^2 r}$$

$$\dot{r} = \sqrt{1 - \frac{L^2}{\sinh^2 r} }$$

I to już jest jakieś równanie różniczkowe na $r$! W takiej postaci jednak jeszcze się nam nie przyda, trzeba jeszcze trochę pokombinować.

Po pierwsze, popatrzmy na punkt na boku kwadratu który znajduje się w odległości $r_{min}$ od środka. W takim punkcie, ponieważ współrzędna $r$ ma minimum, pochodna tej współrzędnej $\dot{r}$ będzie zero. Wobec tego:

$$0 = \sqrt{1 - \frac{L^2}{\sinh^2 r_{min}}}$$

Stąd otrzymujemy, że wzdłuż boków kwadratu mamy:

$$L = \sinh r_{min}$$

Możemy więc równanie dla boków zapisać następująco:

$$\dot{r} = \sqrt{ 1 - \frac{\sinh^2 r_{min}}{\sinh^2 r} }$$

To równanie jest pewnym równaniem na $r(\tau)$, ale tak naprawdę ta funkcja nie musi nas jakoś szczególnie obchodzić. Nas obchodzi kształt linii będącej bokiem kwadratu, a nie jej konkretna parametryzacja, więc będziemy szukać funkcji $r(\varphi)$, albo $\varphi(r)$ - i tę drugą da się stosunkowo łatwo wyznaczyć. Wypiszmy na początek $\frac{d\varphi}{dr}$:

$$\frac{d\varphi}{dr} = \frac{\dot{\varphi}}{\dot{r}} = \frac{\sinh r_{min}}{\sinh r \sqrt{ \sinh^2 r - \sinh^2 r_{min} } }$$

Zakładając, że $\varphi(r_{min}) = 0$, to już pozwala wyznaczyć $\varphi(r)$:

$$\varphi(r) = \int\limits_{r_{min}}^{r} \frac{d\varphi}{dr'} dr' = \int\limits_{r_{min}}^r \frac{\sinh r_{min} \, dr'}{\sinh r' \sqrt{ \sinh^2 r' - \sinh^2 r_{min} } }$$

(Pod całką użyłem $r'$ zamiast $r$ dla uniknięcia kolizji oznaczeń.)

Tę całkę da się rozwiązać analitycznie - pomógł mi w tym Wolfram Alpha - i wynik wynosi wtedy:

$$\varphi(r) = \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{\sinh r_{min} \, \cosh r}{\sqrt{\sinh^2 r - \sinh^2 r_{min}}}$$

Ze względu na to, że jeden z wierzchołków kwadratu znajduje się w punkcie $(\frac{d}{2}, \frac{\pi}{4})$, otrzymujemy warunek:

$$\varphi\left( \frac{d}{2} \right) = \frac{\pi}{4}$$

który jest spełniony, gdy wyrażenie wewnątrz arcus tangensa wynosi 1:

$$\frac{\sinh r_{min} \, \cosh \frac{d}{2}}{\sqrt{\sinh^2 \frac{d}{2} - \sinh^2 r_{min}}} = 1$$

Stąd możemy otrzymać:

$$d = 2 \, \textrm{arcosh} \, \sqrt{ \frac{ 1 + \sinh^2 r_{min} }{ 1 - \sinh^2 r_{min} } }$$

Zauważmy, że to wyrażenie ma sens tylko gdy $\sinh r_{min} < 1$ - przyjrzymy się temu jeszcze później.

Na razie zajmijmy się obliczeniem $a$. Jeśli odcałkujemy długość krzywej po promieniu od $r_{min}$ do $\frac{d}{2}$, otrzymamy połowę boku, czyli $\frac{a}{2}$:

$$\frac{a}{2} = \int\limits_{r_{min}}^{\frac{d}{2}} \sqrt{ dr^2 + \sinh^2 r \, d\varphi^2 } = \int\limits_{r_{min}}^{\frac{d}{2}} \sqrt{1 + \sinh^2 r \, \left( \frac{d\varphi}{dr} \right)^2 } dr$$

Ponieważ już znamy $\frac{d\varphi}{dr}$, możemy wstawić odpowiednie wyrażenie i otrzymać:

$$\frac{a}{2} = \int\limits_{r_{min}}^{\frac{d}{2}} \frac{\sinh r \, dr}{\sqrt{\sinh^2 r - \sinh^2 r_{min}}}$$

Tę całkę również da się policzyć analitycznie, i znów z pomocą Wolframa Alpha otrzymałem:

$$a = 2 \, \textrm{artanh} \, (\sinh r_{min})$$

Stąd możemy wyciągnąć:

$$r_{min} = \, \textrm{arsinh} \, \left( \tanh \frac{a}{2} \right)$$

Co, po wstawieniu do wyrażenia na $d$, daje:

$$d = 2 \, \textrm{arcosh} \, (\sqrt{ \cosh a })$$

Uff! Dużo bałaganu z funkcjami hiperbolicznymi (co nie powinno być zaskakujące - w końcu chodzi o geometrię hiperboliczną!), ale ostatecznie mamy wynik.

Wnioski

Co z tego wyniku można wyciągnąć?

Po pierwsze, możemy spytać jak się ma stosunek $\frac{d}{a}$ dla małych kwadratów:

$$\lim\limits_{a \to 0} \frac{d}{a} = \lim\limits_{a \to 0} \frac{2 \, \textrm{arcosh} \, (\sqrt{\cosh a})}{a} = \sqrt{2}$$

Czyli dla małych kwadratów otrzymujemy stosunek taki, jak w geometrii euklidesowej. I to nie powinno nas zaskakiwać, bo płaszczyzna hiperboliczna jest rozmaitością różniczkową, a takie rozmaitości lokalnie - tj. w małych otoczeniach punktów - przypominają przestrzeń euklidesową.

Co się dzieje z dużymi kwadratami?

$$\lim\limits_{a \to \infty} \frac{2 \, \textrm{arcosh} \, (\sqrt{\cosh a})}{a} = 1$$

Dla dużych kwadratów, stosunek długości przekątnej do boku coraz bardziej zbliża się do 1 - czyli mój znajomy miał rację! Faktycznie, im większy kwadrat, tym mniejsza różnica między bokiem a przekątną. Czyli mem miałby sens w przestrzeni hiperbolicznej... o promieniu krzywizny dużo mniejszym od 1,8 metra 😅

Na koniec wróćmy jeszcze do wyrażenia na $d$, przy którym zaznaczyłem, że ma ono sens tylko dla $\sinh r_{min} < 1$. O co tu chodzi?

Załóżmy, że zaczynamy z punktu $(r_{min}, 0)$ takiego, że $\sinh r_{min} > 1$. Wypuszczamy geodezyjną z początkowym $\dot{r} = 0$ - czyli de facto próbujemy zbudować bok kwadratu hiperbolicznego, jak wcześniej, tylko ze zbyt dużym $r_{min}$. Okazuje się, że... taka geodezyjna nigdy nie osiągnie $\varphi = \pm \frac{\pi}{4}$! To znaczy, jeśli stworzymy cztery takie geodezyjne, które miałyby być czterema bokami kwadratu, to one... nigdy się nie przetną. Żaden kwadrat w ogóle nie powstanie! A w granicznym przypadku $\sinh r_{min} = 1$, punkty ich przecięcia, czyli wierzchołki kwadratu, będą... w nieskończoności.

Jest to przejaw jednej z własności płaszczyzny hiperbolicznej: mając daną prostą i punkt nie leżący na tej prostej, przez ten punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych, które nigdy nie przetną zadanej prostej. W przypadku przestrzeni euklidesowej taka prosta byłaby dokładnie jedna i nazwalibyśmy ją "równoległą" do zadanej prostej. W przestrzeni sferycznej, takich prostych nie byłoby w ogóle. Właśnie takie rozważania odnośnie równoległości prostych doprowadziły swego czasu do odkrycia geometrii nieeuklidesowych.

I na tym chyba zakończę tę notkę. Te wszystkie rozważania zainspirowane jednym memem były dla mnie fascynującą podróżą w świat geometrii hiperbolicznej - i mam nadzieję, że udało mi się choć w niewielkim stopniu tym z Wami podzielić!