Zdarzenia i czasoprzestrzeń

ebvalaim 2017-11-19 11 Comments

Pierwsza notka z serii będzie dość podstawowa, ale myślę, że parę omówionych zagadnień okaże się ciekawych. Opowiemy sobie o tym czym są czasoprzestrzeń, zdarzenia, i pokażemy skąd bierze się teoria względności. No to jedziemy :)

O pojęciu czasoprzestrzeni mówi się nieco w szkole, ale zwykle bardzo mało uwagi poświęca się temu, jak doniosłe konsekwencje ma połączenie czasu i przestrzeni w jeden byt. Żeby jednak to zrozumieć, trzeba najpierw nieco wgłębić się w szczegóły całej idei.

Zdarzenia

Zacznijmy od podstaw. Wyobraź sobie, że chcesz spotkać się ze znajomym. Co musicie ustalić? Odpowiedź jest raczej prosta:

• gdzie chcecie się spotkać
• kiedy chcecie się spotkać

Część "gdzie" sprowadza się najczęściej do kilku słów - taka a taka knajpa, kino, czyjś dom, cokolwiek. Jeśli jednak z jakiegoś powodu chcielibyście umówić spotkanie gdzieś w sercu Himalajów, najprościej będzie pewnie podać dwie liczby: długość i szerokość geograficzną. Co jednak, jeśli spotkanie nie ma odbyć się na powierzchni Ziemi, ale w jakimś podziemnym schronie, albo przeciwnie - na jakiejś latającej platformie? Potrzeba trzeciej liczby, np. wysokości nad poziomem morza. Te trzy liczby - współrzędne - załatwią sprawę: możecie spotkać się gdziekolwiek na Ziemi, pod jej powierzchnią lub nad nią.

Taki zestaw współrzędnych pozwala w zasadzie określić dowolny punkt we Wszechświecie (niektóre byłyby po prostu bardzo wysoko nad powierzchnią Ziemi), ale jest to raczej średnio wygodny system ze względu na to, że Ziemia się porusza. Niezależnie jednak od tego, jaki system stworzymy, zawsze do jednoznacznego określenia miejsca wystarczą 3 liczby - co jest przejawem faktu, że żyjemy w 3-wymiarowej przestrzeni.

Podsumowując: określenie "gdzie" wymaga 3 liczb. A co z "kiedy"?

Od tego mamy kalendarz i zegarki, ale opis momentu w czasie da się sprowadzić do tylko jednej liczby - informatycy często spotykają się z jednym ze sposobów na dokonanie tego, tzw. Unix timestamp. Astronomowie mają swój system i używają daty juliańskiej (czasem zmodyfikowanej). W każdym razie istotne jest, że czas da się określić jedną tylko liczbą - mamy jeden wymiar czasowy.

Te cztery liczby - trzy opisujące miejsce i jedna opisująca czas - to tzw. współrzędne czasoprzestrzenne. Punkt opisywany przez konkretny zestaw współrzędnych, np. 52°N, 21°E, 75 m n.p.m, 2000-01-01 12:00 (tu są więcej niż cztery liczby - ale jak pisałem, da się je sprowadzić do czterech, tylko byłoby to mniej czytelne) to zdarzenie. Czasoprzestrzeń natomiast to nic innego, jak zbiór wszystkich zdarzeń - w tym sensie zdarzenia są punktami w czasoprzestrzeni. Ponieważ do określenia punktu potrzeba czterech liczb, oznacza to, że czasoprzestrzeń jest 4-wymiarowa.

No OK, odkryliśmy że każde zdarzenie da się opisać czterema liczbami, co prowadzi do 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, ale co w tym takiego przełomowego? Współrzędne wymyślono kilkaset lat temu, czas i przestrzeń ludzie też znają od dawna, a jednak nikt przed Einsteinem nie interesował się za bardzo pojęciem czasoprzestrzeni. Trudno się w sumie dziwić - to, że złożymy czas i przestrzeń w jedną całość nie powoduje, że nagle przestajemy mieć czas i przestrzeń... prawda...?

Czasoprzestrzeń

Spoiler: nieprawda. Takie połączenie czasu i przestrzeń w jedność ma niesamowite konsekwencje, i zaraz się o tym przekonamy. Ale po kolei.

Najpierw uwaga techniczna. Ponieważ będę chciał ilustrować wywody rysunkami, a w 4 wymiarach ciężko się rysuje (jak ktoś się nie zgadza, proszę o kontakt, chętnie się nauczę ;) ), więc dla uproszczenia przyjmiemy, że przestrzeń ma tylko jeden wymiar - jest linią. To nie przeszkodzi w zilustrowaniu najważniejszych kwestii, a pozwoli na rysowanie wszystkiego na płaskim ekranie.

Skoro to mamy za sobą - przyjrzyjmy się, jak spędził dzień pewien Jan Kowalski.

Pan Jan i linia świata

Wyobraźmy sobie, że bohater tej opowieści, Jan Kowalski, umówił się z przyjacielem w jakimś miejscu, do którego dotarcie zajmie mu 2,5 godziny. Jan wyruszył z domu o 8 rano i dotarł na spotkanie o 10:30. Z przyjacielem spędził półtorej godziny, po czym ruszył w drogę powrotną. Po drodze stwierdził, że zgłodniał i zatrzymał się na obiad. Jadł pół godziny, po czym wyruszył w dalszą drogę i dotarł z powrotem do domu o 15:00.

Na obrazku po prawej możemy zobaczyć diagram, który ukazuje, jak Jan poruszał się względem Ziemi. Na początku, między 7 a 8 rano, siedział w domu. Ponieważ nie poruszał się względem Ziemi, ta część linii Jana jest pionowa - każdy jej punkt ma taką samą współrzędną przestrzenną, zmienia się tylko współrzędna czasowa.

O 8 rano Jan wsiadł w samochód albo inny środek komunikacji i wyruszył w podróż. W miarę upływu czasu Jan znajdował się w różnych miejscach (różne współrzędne x), co powoduje, że odcinek obrazujący tę część dnia jest nachylony. Co więcej, kąt tego nachylenia do pionu odpowiada prędkości Jana - większe nachylenie oznaczałoby, że Jan pokonuje większą odległość w tym samym czasie, a więc porusza się szybciej. Tutaj nasz bohater porusza się ze stałą prędkością aż osiąga punkt spotkania.

W trakcie spotkania Jan znów się nie porusza, co znów skutkuje pionowym odcinkiem aż do 12:00, kiedy wyrusza w drogę powrotną. Wtedy linia Jana znów się pochyla, ale w przeciwną stronę, gdyż tym razem porusza się on w przeciwnym kierunku. Zatrzymanie się na obiad to kolejny pionowy kawałek (znów brak ruchu), potem kolejny nachylony na resztę podróży, aż w końcu Jan dociera do domu, rozkłada się w fotelu i znów jego linia staje się pionowa.

Taką linię, obrazującą co dzieje się z ciałem w miarę upływu czasu, nazywa się linią świata danego ciała. Linia świata to w ogólności pewna krzywa w czasoprzestrzeni, a każdy punkt na niej to pewne zdarzenie, którego ciało "doświadczyło".

Ku teorii względności

Wiemy już, co to linia świata i jak wygląda przykładowy diagram czasoprzestrzenny, więc przejdźmy dalej. Skupmy się teraz na kawałku dnia, w którym pan Jan podróżował z domu na miejsce spotkania (po lewej).

Jak już wspomnieliśmy, ten kawałek linii świata Jana jest nachylony, co oznacza, że Jan się poruszał. Kawałek ten jest prosty, co oznacza, że nie zmieniał prędkości ruchu - nie przyspieszał (kąt nachylenia jest stały, a jak już wspomnieliśmy, odpowiada on prędkości). Gdyby Jan przyspieszał, linia byłaby nieco wybrzuszona w górę (w miarę upływu czasu kąt nachylenia rósłby), a gdyby zwalniał, byłaby wybrzuszona odwrotnie - w dół (malejący kąt nachylenia).

Powiedzieliśmy sobie, że Jan się poruszał, ale przecież nie ma bezwzględnego ruchu! Użyłem tutaj skrótu myślowego - Jan poruszał się względem Ziemi. Względem np. samego siebie oczywiście się nie poruszał - więc jak wyglądałby ten kawałek diagramu w jego układzie odniesienia?

I w tym momencie okazuje się, jak istotna staje się idea czasoprzestrzeni. W układzie Jana jego linia świata musi być pionowa, ale czasoprzestrzeń jest ciągle ta sama. Aby popatrzeć na wszystko z punktu widzenia Jana, obrócimy więc nasz diagram - tak, aby linia Jana stała się pionowa. Rezultat jest widoczny po prawej.

Pełne konsekwencje tego kroku jeszcze nie są widoczne, ale już dzieją się nieco dziwne rzeczy. Ponieważ przyjmujemy za prawdziwą zasadę względności, która mówi, że wszystkie układy odniesienia są równouprawnione, to na diagramie z punktu widzenia Jana również musimy oś czasu narysować pionowo. Oś czasu układu Ziemi nie ma jednak prawa być gdzie indziej, niż na diagramie względem Ziemi - co oznacza, że musi być nachylona do osi czasu Jana. Czas Ziemi (t) i czas Jana (t') płyną nierównolegle!

Podkreślmy to jeszcze raz: łącząc czas i przestrzeń w czasoprzestrzeń i robiąc prosty rysunek, doszliśmy momentalnie do wniosku, że czas jest względny i zależny od obserwatora. Momentalnie! Nie trzeba tu żadnych wielkich przeskoków myślowych, wystarczy zrobić rysunek i go obrócić! To jest właśnie potęga idei czasoprzestrzeni.

Na razie na diagramie Jana narysowaliśmy same osie, dodajmy teraz na nich podziałki (no, przynajmniej na osi czasu). Jak gęsta powinna być ta podziałka? Proste - tak samo gęsta, jak na osi czasu Ziemi, bo czemu miałoby być inaczej? W końcu zegarowi nie powinno robić różnicy, czy się rusza, czy nie - powinien odliczać sekundy / minuty / godziny wzdłuż swojej osi czasu tak samo. Tak narysowaną podziałkę można zobaczyć po prawej.

Jan wyruszył z domu o 8:00 i nie ma żadnych powodów, żeby jego zegarek pokazywał wtedy inną godzinę. Zaczynamy więc o 8:00 i odliczamy... Ale co się dzieje? O 10:30 Jan ciągle jeszcze nie jest na miejscu. Ponieważ jego linia świata idzie przez czasoprzestrzeń na skos, jest nieco dłuższa, niż odcinek 8:00-10:30 na osi czasu Ziemi. To powoduje, że na zegarku Jana będzie już po 10:30, kiedy dotrze na miejsce. Szok! (Ci z Czytelników, którzy są obeznani z teorią względności, powinni tu odczuć pewien zgrzyt - wrócimy jeszcze do tego tematu.)

Pojawia się więc natychmiast kolejny wniosek - różni obserwatorzy mogą zarejestrować różny czas między tymi samymi zdarzeniami. Odkryliśmy dylatację czasu!

Ale to wciąż nie koniec. Przyjrzyjmy się odległościom między domem Jana a miejscem spotkania na kolejnym diagramie.

No to popatrzmy. Miejsce spotkania Jana z przyjacielem jest nieruchome względem Ziemi - czyli jego linia świata będzie równoległa do osi czasu Ziemi (t). Musi też przechodzić przez odpowiedni punkt na osi przestrzeni. Taką linię wykropkowałem na diagramie.

Przestrzeń Jana jednak nie jest równoległa do przestrzeni Ziemi, tak samo jak czas. To powoduje, że oś przestrzeni Jana przecina linię świata miejsca spotkania nieco niżej. Co więcej, w efekcie tego odcinek między domem Jana a miejscem spotkania na osi przestrzeni Jana jest dłuższy, niż analogiczny odcinek na osi przestrzeni Ziemi. Jan uważa, że ma na spotkanie dalej, kiedy porusza się szybciej!

Więcej! O 8:00, kiedy Jan wyrusza z domu, według niego w miejscu spotkania 8:00 jeszcze nie wybiła! Wybije dopiero w zdarzeniu na osi x Ziemi (tam na rysunku jest ziemska 8:00), kiedy u Jana będzie już później! Odkryliśmy też względność równoczesności!

Z prostego diagramu wyczytaliśmy praktycznie wszystkie istotne konsekwencje teorii względności. Co do paru rzeczy niestety musiałem jednak oszukać i teraz nadszedł czas naprostować to oszustwo.

Faktyczna teoria względności

Oszukałem już na trzecim diagramie, kiedy przeszliśmy do układu odniesienia Jana. Powiedziałem wtedy, że wystarczy obrócić obrazek i wszystko będzie OK. Byłoby super, gdyby to była prawda, ale niestety rzeczywistość jest bardziej skomplikowana. Przejścia między układami odniesienia nie są obrotami, a są opisywane tzw. transformacją Lorentza.

Bardziej odpowiedni obrazek mamy po prawej.

Tranformacja Lorentza jest przekształceniem bardzo analogicznym do obrotu. Tak, jak obrót przesuwa punkty po okręgach, tak transformacja Lorentza przesuwa je po hiperbolach. Oś przestrzeni przekręca się w przeciwną stronę, niż oś czasu, co powoduje, że w połowie kąta między nimi pojawia się prosta, która się nie zmienia - odpowiada ona poruszaniu się z prędkością światła. Trochę więcej o podobieństwach hiperboli i okręgów tutaj.

Bardziej istotne dla nas jest tutaj, że pewne rzeczy w transformacji Lorentza działają na odwrót, niż w obrotach. Na obróconym obrazku u Jana minęło więcej niż 2,5 godziny i miał on większą odległość do pokonania. Tak naprawdę minie u niego mniej niż 2,5 godziny (czas w poruszających się układach płynie wolniej) i będzie on miał mniejszą odległość do pokonania (stąd: skrócenie Lorentza).

Oczywiście, w prawdziwym życiu te różnice są niezauważalne. Jest tak, ponieważ gdybym chciał być dokładny, rysując te diagramy, każda sekunda na osi czasu musiałaby odpowiadać ok. 300 000 km na osi przestrzeni - konkretnie, 1 sekundzie świetlnej. W takim wypadku Jan pokonałby na tych diagramach godziny świetlne, czyli miliardy kilometrów, w ciągu zaledwie paru godzin - raczej nieosiągalne dla typowej osoby ;) W takim razie w rzeczywistości linie świata wszystkich ludzi są nieodróżnialne od pionowych - choć nie jest to prawdą np. dla satelitów GPS, które muszą uwzględniać relatywistyczne efekty.

Niezależnie od tego wszystkiego, wydaje mi się, że spojrzenie na czasoprzestrzeń-kartkę, w której właściwym przekształceniem jest obrót, pozwala oswoić się z ideami teorii względności, które dla wielu osób są nieintuicyjne. Zobaczenie, że potraktowanie czasoprzestrzeni jako całości prowadzi do zjawisk teorii względności w naturalny sposób było dla mnie osobiście momentem oświecenia i mam nadzieję, że choć część tego oświecenia zdołałem tu przekazać ;)

Podsumowanie

Na koniec - drodzy Czytelnicy, nie wahajcie się zadawać pytań, czy na tym blogu w komentarzach, czy na stronach, na których podlinkuję ten artykuł. Postaram się odpowiedzieć w miarę moich możliwości. Uważam teorię względności za niezmiernie fascynujący temat i chciałbym tą fascynacją się dzielić :)

To jest jedynie pierwszy artykuł w serii - nie wiem jeszcze, co dokładnie opiszę w kolejnych, ale będziemy kolejnymi krokami zbliżać się ku opisowi czarnych dziur i ciekawostek z nimi związanych. Zapraszam do śledzenia! :)