Funkcje hiperboliczne - co to za czort?

ebvalaim 2017-03-22 0 Comments

Jeśli jesteście jak ja, to pierwszy raz zetknęliście się z funkcjami hiperbolicznymi jako "tym czymś dziwnym na kalkulatorze, co nie ma żadnego zastosowania". Ot, są jakieś przyciski oznaczone "sinh" i "cosh". W szkole w końcu wyjaśnili, co oznacza "sin" i "cos", ale o tych wariantach z "h" na końcu nikt nie wspominał. O co chodzi? Nazwa sugeruje jakieś podobieństwo do funkcji trygonometrycznych, zobaczmy co wyjdzie:

$$\begin{array}{ll} \cos (1) = 0.54030230586 & \cosh (1) = 1.54308063482 \\ \cos (10) = -0.83907152907 & \cosh (10) = 11013.2329201 \end{array}$$

(Takie wyniki otrzymacie, jeśli macie kalkulator ustawiony na radiany - jeśli jest ustawiony na stopnie, to wartości cosinusów będą inne; na funkcje hiperboliczne to ustawienie nie ma wpływu i jeszcze zobaczymy dlaczego.)

No tak, te 11 tysięcy dla cosh(10) wygląda bardzo podobnie do funkcji trygonometrycznych. Ewidentnie to "h" zmienia całkiem sporo, ale co konkretnie...?

Jeśli w dalszym toku edukacji spotkaliście się z liczbami zespolonymi, mogliście zobaczyć takie definicje:

$$\begin{array}{ll} \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} & \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} & \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \end{array}$$

Tu już widać większe podobieństwo, ale... Dlaczego taka forma? Co to ma wspólnego z hiperbolami? Jeśli jeszcze nie wiecie, to teraz się dowiecie.

Mniej znane oblicze funkcji trygonometrycznych

Jeśli funkcje trygonometryczne są dla Was czymś, co dotyczy trójkątów, to najpierw musicie kompletnie zmienić swoje ich pojmowanie. Znacznie więcej niż z trójkątami funkcje te mają wspólnego z okręgami (mimo że sama nazwa "trygonometryczne" sugeruje trójkąty - to bardzo niefortunna zaszłość historyczna).

Ale po kolei. W szkole zwykle tłumaczy się funkcje trygonometryczne jak na obrazku po prawej. Jest trójkąt, jest kąt w trójkącie i wartości sinusa i cosinusa to stosunki długości odpowiednich boków.

OK, to ma jakiś sens. Ale... co z kątami powyżej 90°? Albo poniżej 0°? Co to jest sin(100°)? Co to jest cos(-20°)? Te funkcje mają wartości dla tych argumentów, ale jak to pokazać na trójkącie...? No nie da się.

  Te problemy rozwiązuje definiowanie sinusa i cosinusa na okręgu (obrazek po lewej). Bierzemy okrąg o promieniu 1 i środku w punkcie (0,0). Rysujemy promień pod kątem $\vartheta$ do osi x, przy czym kąt rośnie w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara. Współrzędne punktu na okręgu, w który trafimy, to $x = \cos \vartheta$ i $y = \sin \vartheta$. Nie ma tu problemów ze zbyt dużymi kątami (możemy się kręcić dookoła początku układu współrzędnych) ani z kątami ujemnymi (kąty ujemne naliczamy po prostu od osi x zgodnie ze wskazówkami zegara).

Można też spojrzeć na to z drugiej strony - gdy będziemy zmieniać $\vartheta$ od 0 do 360° (możemy i od -∞ do +∞) i zaznaczać punkty o współrzędnych $(\cos \vartheta, \sin \vartheta)$, to otrzymamy okrąg. Ściślej mówi się, że kąt $\vartheta$ jest parametrem, a $(\cos \vartheta, \sin \vartheta)$ jest parametryzacją okręgu.

Skoro już zaczynamy wchodzić bardziej w język matematyki, to warto też wspomnieć, że matematycy nie przepadają za mierzeniem kąta w stopniach. Preferowaną jednostką jest radian - kąt w radianach to stosunek długości łuku kąta do promienia okręgu. Kąt pełny to $2\pi$ radianów, półpełny to $\pi$, kąt prosty to $\frac{\pi}{2}$... Prawdę powiedziawszy, matematycy (i fizycy) nawet nie traktują kątów jak wartości z jednostką, tylko jak "gołe" (bezwymiarowe) liczby: nie mówi się "kąt wynosi x radianów", tylko "kąt wynosi x", kropka - ma to sens, gdyż stosunek długości dwóch linii (w tym wypadku łuku i promienia) jest po prostu liczbą i nie wymaga żadnych jednostek.

To teraz zagadka: jakie jest pole wycinka koła, którego kąt jest $\vartheta$ (rysunek po prawej)?

No to policzmy: pole pełnego koła to $\pi R^2$. Kąt $\vartheta$ to część całego koła: ułamek równy $\frac{\vartheta}{2\pi}$ (przypominam, że pełny kąt to $2\pi$). Wobec tego pole tego wycinka to $\frac{\vartheta}{2\pi}\pi R^2 = \frac{\vartheta}{2}R^2$. Gdy promień jest równy 1, jak u nas, pole będzie wynosiło po prostu $\frac{\vartheta}{2}$.

Jeśli zatem wyobrazimy sobie, że zaczynamy od punktu $(1,0)$ i zakreślamy okrąg aż do punktu $(\cos \vartheta, \sin \vartheta)$, to pole, które ostatecznie zakreślimy, będzie wynosiło $\frac{\vartheta}{2}$.

Funkcje hiperboliczne

Dobrze, ale jak się to wszystko ma do funkcji hiperbolicznych?

Otóż tak, jak funkcje cosinus i sinus parametryzują okrąg, tak cosinus i sinus hiperboliczne parametryzują hiperbolę. Biorąc różne wartości parametru, nazwijmy go $a$, i zaznaczając punkty $(\cosh a, \sinh a)$ otrzymamy hiperbolę przechodzącą przez punkt $(1, 0)$.

Co więcej - gdy zaczniemy z punktu $(1,0)$ i zaczniemy przesuwać się po hiperboli, zakreślając pole między hiperbolą a początkiem układu współrzędnych, gdy dotrzemy do punktu $(\cosh a, \sinh a)$, zakreślone pole będzie wynosiło... $\frac{a}{2}$. Dlatego też właśnie postanowiłem zwrócić uwagę na zakreślane pole w przypadku okręgu - gdy popatrzy się z tej strony, analogia między funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi jest pełna.

Zastosowania funkcji hiperbolicznych

Widać w końcu, że nazwy funkcji hiperbolicznych podobne do trygonometrycznych nie są przypadkowe. Ale czy te funkcje mają jakieś praktyczne zastosowania?

Okazuje się, że jak najbardziej. Funkcje hiperboliczne są niesamowicie przydatne w fizyce relatywistycznej - transformacje między poruszającymi się układami odniesienia do złudzenia przypominają obroty, tylko wyrażone funkcjami hiperbolicznymi zamiast trygonometrycznymi. A z innych dziedzin: zwieszona z dwóch punktów lina pod wpływem grawitacji przyjmuje kształt wykresu funkcji cosh(x) - zamiast liny można rozważyć też łańcuch i stąd nazwa "krzywa łańcuchowa".

Podsumowanie

To by było na tyle. Mam nadzieję, że pokazałem Wam coś ciekawego, niezależnie czy już wiedzieliście czym są funkcje hiperboliczne, czy jeszcze nie. Osobiście uważam, że takie analogie między obiektami matematycznymi mającymi z pozoru niewiele wspólnego są fascynujące, a matematyka jest ich pełna - dlatego między innymi warto ją zgłębiać :)