Nietypowe własności hiperbolicznych kwadratów
...czyli jak głupawy mem zainspirował złożone obliczenia dotyczące geometrii nieeuklidesowej 😅
Wszystko zaczęło się od poniższego memu:
Ciekawostki naukowe
Symulowanie opóźnienia Shapiro
Z Ogólnej Teorii Względności wynika dużo ciekawych efektów. Jednym z nich jest, znajdujące się w tytule tej notki, tzw. opóźnienie Shapiro.
O co chodzi? Ogólna Teoria Względności przewiduje m.in. fascynujące zjawisko wolniejszego upływ czasu w pobliżu masywnych ciał. Oznacza to np., że jeśli spotkacie się z sąsiadem wieczorem przy wejściu do bloku, pójdziecie spać do swoich mieszkań, po czym spotkacie się znowu przy wejściu rano - jeśli mieszkasz na parterze, a sąsiad na 10 piętrze, to sąsiad w ciągu nocy zestarzeje się bardziej, niż Ty. Na Ziemi, przy takich różnicach wysokości, różnice w upływie czasu są minimalne - w przykładzie z sąsiadem nie większe niż kilkadziesiąt bilionowych części sekundy - ale są.
Te różnice w upływie czasu da się zmierzyć w niektórych okolicznościach, i fizyk Irwin Shapiro wskazał jeden możliwy sposób. Wykorzystuje on najmasywniejsze ciało w Układzie Słonecznym - Słońce. Wysłana z Ziemi fala elektromagnetyczna, przelatująca w pobliżu Słońca, znajduje się w obszarze, w którym czas płynie nieco wolniej, niż na Ziemi - w efekcie z Ziemi wygląda to, jakby poruszała się nieco wolniej. Jeśli taka fala po przelocie obok Słońca odbije się od czegoś - np. od innej planety - i wróci na Ziemię, przelatując po drodze obok Słońca jeszcze raz - to okaże się, że zajmie jej to nieco więcej czasu, niż wynikałoby z prostego podzielenia odległości między Ziemią a planetą przez prędkość fali (prędkość światła). Shapiro obliczył, jakiego opóźnienia można się spodziewać, i wyszło mu, że np. jeśli planetą, od której odbiją się fale, będzie Wenus, to opóźnienie może wynieść nawet ponad 200 µs (milionowych części sekundy) - wciąż malutko, ale już do zmierzenia!
I opóźnienie Shapiro faktycznie zmierzono. Wielokrotnie wysyłano z Ziemi wiązkę radarową, która odbijała się od Wenus i wracała na Ziemię, i mierzono dokładnie czas jej przelotu. Uzyskane wyniki były zgodne z przewidywaniami OTW:
Wiadomo wobec tego, że efekt występuje. Jednak jak przystało na porządnego nerda, postanowiłem sprawdzić, czy będę w stanie sam otrzymać poprawne przewidywanie z teorii. W tym celu stworzyłem sobie symulację, której dotyczy ta notka.
(więcej…)Jak nauka pomaga zrozumieć świat
Ostatnio często trafiam w internecie na wypowiedzi pełne różnego rodzaju pretensji do nauki. A to że coś jest nieprzekonująco udowodnione, a to że teorie fizyczne są zbyt abstrakcyjne, albo wręcz absurdalne. Częścią wspólną tych wypowiedzi wydaje się być fundamentalne nieporozumienie w kwestii tego jak działa, czy też nawet jak powinna działać, nauka. W związku z tym postanowiłem spróbować w tym wpisie wyjaśnić sprawę - co nauka robi, czego nie robi, i czemu tak, a nie inaczej. Zapraszam do lektury!
(więcej…)Obalania płaskoziemstwa ciąg dalszy
W poprzedniej notce opisałem historię pewnej dyskusji z płaskoziemcami i jak stworzyłem kalkulator refrakcji, żeby mieć silniejsze argumenty. Dzisiaj opiszę, jak sprawa rozwinęła się dalej (sprawa kalkulatora, nie płaskoziemców - chyba nikt się nie łudzi, że zdołałem przekonać jakiegoś pseudonaukowca? ;) ).
Przypomnę może pokrótce sedno dyskusji. Otóż jeden z płaskoziemców upiera się, że widoki różnych krajobrazów wyglądają tak, jak powinny wyglądać na płaskiej Ziemi, a nie jak na kulistej. Na poparcie swoich tez pokazuje zdjęcia i liczy proporcje odległości między charakterystycznymi punktami albo wielkości widocznych na nich obiektów. Podejście całkiem sensowne - o ile wszystko przeprowadzi się rzetelnie, tzn. wyliczy, jakie odpowiednie proporcje powinny być na płaskiej Ziemi, a jakie na kulistej. Okazuje się - o czym traktuje wspomniana wyżej poprzednia notka - że w pełni poprawna analiza musi uwzględniać nawet refrakcję atmosferyczną, która w większości przypadków jest zaniedbywalnie mała.
Stworzony przeze mnie w związku z tym kalkulator refrakcji miał jedną zasadniczą wadę - pozwalał na przeliczenie toru tylko jednego promienia światła naraz. Wobec tego na każdym analizowanym zdjęciu trzeba było wybrać sobie jakieś punkty, po czym liczyć np. stosunki kątów. Wbrew pozorom takie podejście pozwala otrzymać ciekawe wyniki, jednak jest mało atrakcyjne wizualnie - ostatecznie wszystko sprowadza się do porównywania liczb. Wymyśliłem więc, jak wykorzystać komputer, aby poprawić nieco sytuację: a gdyby tak stworzyć program, który zamiast symulować jeden promień, symulował ich wiele naraz, sprawdzał kiedy trafiają w powierzchnię Ziemi i na tej podstawie generował całą panoramę…?
Transformacja Lorentza, stożki świetlne
- Czym są zdarzenia i czasoprzestrzeń?
- Czym są linie świata?
- Proste diagramy czasoprzestrzenne
- Jaki wpływ ma nierozłączność czasu i przestrzeni na ich postrzeganie przez obserwatorów?
Dużo ilustracji w poprzednim artykule korzystało z obrotów, po to tylko, by na koniec okazało się, że nie są one właściwymi transformacjami, które by pozwalały na spojrzenie na czasoprzestrzeń z punktu widzenia innych obserwatorów. Teraz przyjrzymy się bliżej transformacjom, które faktycznie opisują rzeczywistość - transformacjom Lorentza.
Krajobrazy a refrakcja atmosferyczna
Czasem mi się nudzi i wdaję się w dyskusje z różnego rodzaju pseudonaukowcami. Często takie dyskusje są marnotrawstwem czasu, ale czasem da się z nich coś wynieść - w końcu żeby wyjaśnić komuś jasno, czemu jest w błędzie, sam musisz dobrze rozumieć temat. Jak Twoja znajomość tematu jest niewystarczająca do odparcia argumentów przeciwnika, musisz ją pogłębić i tym samym czegoś się uczysz. Tak było w moim przypadku tym razem.
Zaczęło się od pojawienia się na pewnym forum dwóch zwolenników płaskiej Ziemi. Na pierwszy ogień poszły standardowe argumenty, w stylu strefy czasowe, pory roku, zaćmienia, obroty nieba... co tylko może przyjść do głowy. Jak to zwykle w takich sytuacjach bywa, argumenty te zostały zbyte milczeniem lub mocno naciąganymi alternatywnymi wyjaśnieniami. Nie będę wchodził w szczegóły, kto chce to znajdzie propozycje płaskoziemców w internecie.
Ale wiadomo, osoby święcie przekonanej o swojej racji argumentami nie przekonasz, więc dyskusja stała się dość jałowa. Obie strony okopały się na swoich stanowiskach i zaczęło się wałkowanie w kółko tych samych kwestii. Do czasu, aż jeden ze zwolenników płaskiej Ziemi zaczął przedstawiać zdjęcia, jego zdaniem dowodzące, że Ziemia "nie jest kulą o promieniu 6371-6378 km", z opisami dającymi się streścić jako "wyjaśnijcie TO!". No dobrze.
Zdarzenia i czasoprzestrzeń
Pierwsza notka z serii będzie dość podstawowa, ale myślę, że parę omówionych zagadnień okaże się ciekawych. Opowiemy sobie o tym czym są czasoprzestrzeń, zdarzenia, i pokażemy skąd bierze się teoria względności. No to jedziemy :)
O pojęciu czasoprzestrzeni mówi się nieco w szkole, ale zwykle bardzo mało uwagi poświęca się temu, jak doniosłe konsekwencje ma połączenie czasu i przestrzeni w jeden byt. Żeby jednak to zrozumieć, trzeba najpierw nieco wgłębić się w szczegóły całej idei.
Kształt horyzontu czarnej dziury
Trafiłem wczoraj w internecie na wątek, który wydawał się typowym pytaniem kogoś zainteresowanego nauką, a okazał się całkiem ciekawym problemem.
Pytanie, które padło, dotyczyło kształtu czarnej dziury. Kilka osób odpisało, że horyzont zdarzeń (czyli granica - w pewnym sensie "powierzchnia" - czarnej dziury) ma kształt kuli (co ściślej należałoby określić jako sferę, gdyż horyzont jest tylko 2-wymiarową powierzchnią, a nie 3-wymiarową bryłą). Ktoś zasugerował, że niezupełnie, gdyż czarne dziury zwykle wirują i to je spłaszcza. Wtedy w wątek włączyłem się ja, odpisując, że nawet horyzont wirujących czarnych dziur jest sferyczny - opisuje go równanie r = const. Ale czy na pewno...?
Funkcje hiperboliczne - co to za czort?
Jeśli jesteście jak ja, to pierwszy raz zetknęliście się z funkcjami hiperbolicznymi jako "tym czymś dziwnym na kalkulatorze, co nie ma żadnego zastosowania". Ot, są jakieś przyciski oznaczone "sinh" i "cosh". W szkole w końcu wyjaśnili, co oznacza "sin" i "cos", ale o tych wariantach z "h" na końcu nikt nie wspominał. O co chodzi? Nazwa sugeruje jakieś podobieństwo do funkcji trygonometrycznych, zobaczmy co wyjdzie:
(Takie wyniki otrzymacie, jeśli macie kalkulator ustawiony na radiany - jeśli jest ustawiony na stopnie, to wartości cosinusów będą inne; na funkcje hiperboliczne to ustawienie nie ma wpływu i jeszcze zobaczymy dlaczego.)
No tak, te 11 tysięcy dla cosh(10) wygląda bardzo podobnie do funkcji trygonometrycznych. Ewidentnie to "h" zmienia całkiem sporo, ale co konkretnie...?
Jeśli w dalszym toku edukacji spotkaliście się z liczbami zespolonymi, mogliście zobaczyć takie definicje:
Tu już widać większe podobieństwo, ale... Dlaczego taka forma? Co to ma wspólnego z hiperbolami? Jeśli jeszcze nie wiecie, to teraz się dowiecie.