- Czym są zdarzenia i czasoprzestrzeń?
- Czym są linie świata?
- Proste diagramy czasoprzestrzenne
- Jaki wpływ ma nierozłączność czasu i przestrzeni na ich postrzeganie przez obserwatorów?
Dużo ilustracji w poprzednim artykule korzystało z obrotów, po to tylko, by na koniec okazało się, że nie są one właściwymi transformacjami, które by pozwalały na spojrzenie na czasoprzestrzeń z punktu widzenia innych obserwatorów. Teraz przyjrzymy się bliżej transformacjom, które faktycznie opisują rzeczywistość - transformacjom Lorentza.
Krótko o obrotach
Obroty nie są chyba nikomu obce. Ot, wystarczy wziąć przedmiot i nim poruszać, zakręcić czymś na patyku, kręcą się koła w rowerze czy karuzele. Każdy od dzieciństwa uczy się rozpoznawać przedmioty niezależnie od tego, jak są obrócone. Rozumiemy obroty intuicyjnie i wiemy, czego się po nich spodziewać.
Tym niemniej, żeby zrozumieć głębiej podobieństwa i różnice między obrotami a transformacjami Lorentza, musimy się im przyjrzeć na nieco bardziej abstrakcyjnym, matematycznym poziomie.
Czym w ogóle są transformacje, czy to w przestrzeni, czy w czasoprzestrzeni? Najprościej rzecz ujmując, transformacja to takie coś, czemu możemy podać jakiś punkt, nazwijmy go A, a ona odda nam jakiś inny punkt, nazwijmy go A'. W przypadku płaszczyzny, punkt możemy opisać np. parą współrzędnych (x,y) - transformacja zmieni go nam w jakieś (x', y'). W czasoprzestrzeni zazwyczaj punkt opiszemy zestawem czterech współrzędnych: (t, x, y, z), a po transformacji będzie to (t', x', y', z').
Obrót na płaszczyźnie o kąt można zapisać równaniami tak:
Istotne są tu tak naprawdę dwie rzeczy:
- Gdy
i
, to
i
- innymi słowy, obrót nie ma wpływu na początek układu współrzędnych. Jeśli damy obrotowi do przetransformowania punkt (0,0), to on nam odda niezmieniony punkt (0,0).
- Odległość punktu od początku układu współrzędnych jest taka sama przed i po obrocie:
(polecam to sobie przeliczyć korzystając z wzorów powyżej, jako ćwiczenie - warto tylko pamiętać o jedynce trygonometrycznej:
).
Z twierdzenia Pitagorasa wiadomo, że odległość punktu (x,y) od punktu (0,0) wynosi. Wartość pod pierwiastkiem nie zmienia się podczas transformacji punktu, więc punkt po transformacji będzie w tej samej odległości od (0,0).
- Rozszerzając nawet poprzedni punkt - jeśli mamy punkty A i B, których współrzędne różnią się o
i
, i przetransformujemy je w punkty A' i B', których współrzędne różnią się o
i
, to nadal
.
Drugi z punktów powyżej oznacza też, że obroty transformują okręgi o środku w punkcie (0,0) w te same okręgi - jak nie obrócić okręgu, wygląda tak samo. Okrąg to zbiór punktów leżących w tej samej odległości od środka - jeśli więc mamy punkt leżący na okręgu o, w pewnej odległości od środka, to po obrocie będzie w tej samej odległości od środka, czyli również na okręgu o. Widać to zresztą na animacji wyżej.
Po co piszę o tym wszystkim? Zaraz powinno się stać jasne - kiedy omówimy transformacje Lorentza.
Transformacje Lorentza
Transformacje Lorentza nie są już dla ludzi tak intuicyjne. W pewnym sensie również mamy z nimi do czynienia od dzieciństwa (w końcu są to transformacje opisujące relacje między poruszającymi się obserwatorami), ale jest to zdecydowanie mniej widoczne.
Pełne transformacje Lorentza działają w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, ale tak jak w poprzednim artykule, dla ułatwienia ograniczymy się do dwóch wymiarów - czasu i jednego wymiaru przestrzennego. Taka 2-wymiarowa czasoprzestrzeń bardzo przypomina płaszczyznę i też można opisywać punkty w niej dwiema współrzędnymi, ale zamiast (x,y) będziemy używać (t,x).
Tak, jak w przypadku obrotów, można podać równania transformacji Lorentza. W kontekście teorii względności zwykle zapisuje się je tak:
W tych równaniach pojawia się już prędkość względna obserwatorów, prędkość światła i ogólnie sporo fizyki. My na razie spojrzymy sobie na te transformacje nieco bardziej abstrakcyjnie i zapiszemy równania tak:
Czym jest , to chwilowo pominiemy (ma pewien związek z względną prędkością obserwatorów), na razie skupimy się na podobieństwach do obrotów.
A podobieństw jest wiele! Podobnie jak w przypadku obrotów, pojawiają się sinusy i cosinusy - tylko hiperboliczne (więcej o funkcjach hiperbolicznych tutaj). Podobnie jak w przypadku obrotów, punkt (0,0) jest przekształcany w (0,0) - transformacja go nie rusza. I znów podobnie jak w przypadku obrotów, z każdym punktem związana jest wielkość, której transformacja nie zmienia.
Przypomnijmy: obrót nie zmieniał odległości punktu od początku układu współrzędnych, a co za tym idzie, także kwadratu odległości, równego . Zgodnie z podpowiedzią do obliczeń, ma to związek z jedynką trygonometryczną, czyli faktem, że dla każdego kąta
zachodzi równość
.
Otóż istnieje również coś takiego, jak jedynka hiperboliczna: dla każdego , zachodzi
. I również dzięki temu, transformacje Lorentza nie zmieniają wielkości
(albo, jeśli chcemy mierzyć czas i odległość w różnych jednostkach:
- równania, które wypisałem, po prostu zakładają
). Tę wielkość nazywa się interwałem czasoprzestrzennym.
Tak samo jak w przypadku obrotów, zachowany jest nie tylko interwał między punktem a początkiem układu współrzędnych, ale między dowolnymi dwoma punktami: .
Okazuje się, że interwał ma wiele własności podobnych do kwadratu odległości. Zasadnicza różnica jest jednak taka, że kwadrat odległości między dwoma różnymi punktami jest zawsze dodatni - interwał natomiast może być dodatni, ujemny albo zerowy. Ponieważ jest zachowany, to punkty rozdzielone dodatnim interwałem będą także rozdzielone dodatnim interwałem po transformacji - tak samo w przypadku ujemnego i zerowego. Co to oznacza?
Aby rozwikłać zagadkę, zastanówmy się nad sensem zerowego interwału. Załóżmy, że mamy punkty A: i B:
, między którymi interwał wynosi zero:
Przekształcając ten wzór, możemy otrzymać:
Przypomnijmy, że punkty w czasoprzestrzeni to zdarzenia. Zdarzenie A zaszło w miejscu o czasie
, a zdarzenie B w miejscu
o czasie
.
to zatem odległość między zdarzeniami A i B, a
to czas, jaki między nimi upłynął. Dzieląc odległość przez czas, otrzymujemy prędkość, z jaką trzeba się poruszać, aby tę odległość pokonać w tym czasie - zatem aby dostać się ze zdarzenia A do zdarzenia B, należało poruszać się z prędkością
- prędkością światła.
I teraz najważniejsze - transformacja Lorentza nie zmienia interwałów! To znaczy, że jeśli popatrzymy z punktu widzenia innego obserwatora - co odpowiada przetransformowaniu punktów A i B w punkty A' i B' transformacją Lorentza - to interwał między A' i B' też będzie zerowy! Czyli coś, co poruszało się z prędkością światła w jednym układzie, porusza się z prędkością światła w każdym układzie. To jest ta słynna niezależność prędkości światła od układu odniesienia.
Popatrzmy znów na wklejony wyżej animowany obrazek. Widać na nim dwie ciemnożółto-brązowe, skośne linie. Są to właśnie linie odpowiadające poruszaniu się z prędkością światła. Widać, że niezależnie jak obrazek zostaje przetransformowany, linie zostają na miejscu.
Podobna rzecz tyczy się błękitnych hiperbol. Tak, jak obroty nie zmieniają okręgów, bo są to zbiory punktów o stałej odległości od początku układu, tak transformacje Lorentza nie zmieniają hiperbol - zbiorów punktów o stałym interwale dzielącym je od początku układu.
Nie będę już wchodził w szczegóły analizy, ale tak jak linie świetlne odpowiadają zerowemu interwałowi, tak górne i dolne hiperbole odpowiadają interwałom dodatnim, a lewe i prawe hiperbole - ujemnym. Ogólnie możemy popatrzeć na naszą dwuwymiarową czasoprzestrzeń jak na podzieloną na cztery ćwiartki liniami świetlnymi - wszystkie punkty w górnej i dolnej ćwiartce dzieli od początku układu interwał dodatni, a w lewej i prawej - ujemny.
Ponieważ transformacje Lorentza nie zmieniają interwału, żaden punkt z żadnej ćwiartki nie może nigdy zostać przetransformowany na punkt w innej ćwiartce! Ograniczenie to staje się jednak nieco lżejsze, jeśli dodamy wymiarów przestrzennych. Dodanie drugiego wymiaru przestrzennego, co można sobie wyobrazić jako obrócenie naszego rysunku wokół osi czasu (pionowej), zmieni linie świetlne w stożek świetlny i podzieli nam czasoprzestrzeń na trzy obszary, zamiast na cztery ćwiartki.
Te trzy obszary to: górna część stożka - przyszłość; dolna część stożka - przeszłość; i wszystko po bokach - tzw. "gdzie indziej" - zdarzenia, których nie da się osiągnąć startując z początku układu i poruszając się wolniej niż światło.
Można spytać: a czemu przyszłość to nie jest po prostu górna połowa diagramu, a przeszłość - dolna? W końcu górna połowa ma współrzędną czasową większą od zera, a dolna - mniejszą... Bardzo dobre pytanie.
Popatrzmy jeszcze raz na animację, a konkretnie, co się dzieje z punktami w prawej i lewej ćwiartce. Animacja pokazuje, jak punkty są transformowane raz w jedną, raz w drugą stronę. W miarę jak transformacja zniekształca rysunek, praktycznie każdy punkt w bocznych ćwiartkach znajduje się raz w górnej, raz w dolnej połowie diagramu. Oznacza to, że punkt o ujemnej współrzędnej czasowej można zmienić w punkt o dodatniej, i na odwrót - czyli "przesunąć" z przeszłości w przyszłość, albo z przyszłości w przeszłość! Nie można więc powiedzieć, że któryś z tych punktów znajduje się w przeszłości albo w przyszłości - to zależy od obserwatora! Dotyczy to jednak tylko punktów z "gdzie indziej" - punkty z górnej ćwiartki (górnej części stożka) są w przyszłości każdego obserwatora, a z dolnej - w przeszłości każdego obserwatora (aczkolwiek uwaga: każdego obserwatora znajdującego się w punkcie (0,0) - obserwatorzy w innych punktach mają swoje stożki, nieco przesunięte względem tego naszego).
Czemu transformacja Lorentza?
Jak do tej pory dużo powiedziałem o transformacji Lorentza, ale nic o tym, skąd wiemy, że to faktycznie ona rządzi rzeczywistością. Cóż - jak można się domyślić, mamy powody, by tak sądzić. Nie jest tak, że ktoś wyskoczył znikąd z pomysłem na taką transformację i wszyscy mu uwierzyli na słowo. Problem polega na tym, że pokazanie, skąd ona się bierze, jest nieco bardziej skomplikowane.
Ściślej rzecz biorąc - można ją wyprowadzić dość łatwo, jeśli przyjmie się, że prędkość światła nie może zależeć od obserwatora. Tak też robiło się to w programie liceum, kiedy chodziłem do szkoły (nie wiem, czy nadal tak się robi, ani czy STW w ogóle jeszcze jest w programie...). Trochę więcej komplikacji pojawia się, jeśli nie wierzymy w stałość prędkości światła (choć jest raczej dobrze udokumentowana) - wtedy trzeba się pomęczyć, ale też się da. Dla zainteresowanych, zrobiłem to tutaj.
Podsumowanie
To by było tyle, jeśli chodzi o tę część. Nie jestem jeszcze pewien, o czym napiszę następną. Długofalowy plan jest taki, żeby zmierzać w kierunku wyjaśnienia czarnych dziur i efektów z nimi związanych, więc prawdopodobnie następną notkę napiszę o tym, czym jest krzywizna. Inną możliwością jest nieco szersze zgłębienie STW - np. przeanalizowanie tzw. paradoksu bliźniąt. Jeśli macie jakiś inny temat, który chcielibyście, żebym omówił - zostawcie komentarz, a na pewno go rozważę.
Wszelkie uwagi co do jasności wywodu też są mile widziane! Chętnie dowiem się, co jest niejasne, a następnie to poprawię - chciałbym, żeby moje artykuły były jak najbardziej zrozumiałe.
Do następnego razu!