Szczególna Teoria Względności bez założenia o stałej prędkości światła

ebvalaim 2016-09-10 3 Comments

Wstęp

Szczególna Teoria Względności, jako mocno sprzeczna z intuicją wyniesioną z codziennego życia, pozostaje dla przeciętnego człowieka tematem nieco magicznym. Wnioski z niej wypływające są tak oddalone od życia, że trudno je do siebie dopuścić jako poprawny opis otaczającego nas świata.

STW poznaje się na lekcjach fizyki w liceum i jej wprowadzenie wygląda tam zwykle mniej więcej tak: pod koniec XIX wieku ludzie zdali sobie sprawę z istnienia fal elektromagnetycznych. Z równań opisujących te fale wynika pewna konkretna prędkość ich rozchodzenia się, oznaczana $c$ i wynosząca ok. 300 000 km/s. Było to o tyle interesujące, że nie wiadomo było, względem czego ta prędkość jest określona. Ponieważ wszystkie znane fale rozchodziły się w jakichś ośrodkach, przyjęto, że także fale elektromagnetyczne posiadają swój ośrodek i nazwano go eterem, a ich prędkość dotyczy ruchu względem niego.

Kiedy już stwierdzono, że eter powinien istnieć, następnym krokiem było wykrycie go. Jednym z pomysłów na zademonstrowanie istnienia eteru było zmierzenie prędkości Ziemi względem niego. Podjęto więc takie próby, jednak nie dały one spodziewanych wyników - wyglądało na to, że Ziemia nie porusza się względem eteru. Było to nieco dziwne, zważywszy że zmienia ona swoją prędkość w ruchu dookoła Słońca, więc nawet jakby spoczywała w jednym momencie, w innym już nie powinna, tymczasem mierzona prędkość była ciągle 0. Próbowano modyfikować koncepcję eteru tak, aby wyjaśnić, czemu mogło wyjść 0 i przeprowadzać bardziej czułe eksperymenty. Jednym z nich był słynny eksperyment Michelsona-Morleya, który jednak, tak jak wcześniejsze eksperymenty, pokazał że prędkość Ziemi jest zerowa.

Naukowcy byli dość zdezorientowani tymi wynikami. Wyglądało na to, że prędkość światła względem różnych obserwatorów się nie zmienia, niezależnie od ich ruchu, co było dość bezprecedensowe. Żeby dokładniej zobrazować, co w tym dziwnego, wyobraźmy sobie, że stoimy na skrzyżowaniu w samochodzie, a przed nami stoi jeszcze jeden samochód. Gdy zapala się zielone światło, samochód przed nami rusza i rozpędza się do 15 m/s, czyli w ciągu każdej sekundy będzie się od nas oddalał o 15 m. Chwilę potem ruszamy my. Gdy rozpędzimy się do 5 m/s, spodziewamy się, że samochód przed nami będzie oddalał się od nas już tylko o 10 m co sekundę, ale gdy to sprawdzamy, ze zdumieniem odkrywamy, że nadal ucieka nam z prędkością 15 m/s. Przyspieszamy do 10 m/s - a on nadal oddala się co sekundę o 15 m. Przyspieszamy bardziej i bardziej, lecz wciąż nie możemy zacząć doganiać samochodu przed nami, mimo że nasz znajomy policjant stał z radarem na poboczu i powiedział nam, że jego prędkość to wciąż tylko 15 m/s. Otóż światło wydawało się zachowywać właśnie jak taki niecodzienny samochód.

Na początku XX wieku różni ludzie proponowali kolejne wyjaśnienia, a wśród nich Lorentz, Poincare i wreszcie Einstein. Ten ostatni w 1905 roku przedstawił opis znany dziś jako Szczególna Teoria Względności, oparty na 3 założeniach:

1. (Czaso)przestrzeń jest jednorodna i izotropowa, tj. nie ma we Wszechświecie wyróżnionych punktów ani kierunków.
2. Nie ma wyróżnionych układów inercjalnych, w każdym z nich prawa fizyki są takie same - to jest tzw. zasada względności Galileusza.
3. Prędkość światła jest taka sama we wszystkich układach odniesienia - wniosek z eksperymentu Michelsona-Morleya.

Eter przestał być wobec tego potrzebny - od tej pory $c$ było po prostu prędkością uniwersalną, niezależną od tego, kto ją mierzy. Przy okazji płyną z tego różne niezwykłe wnioski, takie jak wolniejszy upływ czasu u poruszających się obserwatorów czy skracanie się ciał w ruchu.

Zostaje tu jednak pewna luka - można się kłócić, i niektórzy ludzie rzeczywiście to robią, że trzecie założenie nie jest wystarczająco udowodnione. Eksperyment Michelsona-Morleya mógł być za mało dokładny lub mógł dać zerowy wynik w pewnych szczególnych okolicznościach, mimo że prędkość światła nie jest stała. Stąd STW może być (a wg niektórych po prostu jest) nieprawdziwa.

Wszystko to prawda, ale mało kto zdaje sobie sprawę, że to trzecie założenie wcale nie jest potrzebne do otrzymania STW. Zamierzam tutaj pokazać, jak to możliwe.

Wyprowadzenie STW

Zaznaczę w tym miejscu, że poniższe wyprowadzenie jest zainspirowane wykładem prof. Andrzeja Szymachy, na który uczęszczałem na pierwszym roku studiów. Przedstawiał on tam rozumowanie, które jest niemal identyczne z poniższym, jednak moim zdaniem nieco bardziej złożone koncepcyjnie, dlatego postanowiłem dokonać drobnych modyfikacji.

Zarysujmy zatem sytuację. Wyobraźmy sobie, że mamy dwóch obserwatorów, których oznaczymy $O$ oraz $O'$. Każdy z tych obserwatorów przypisuje czasoprzestrzeni swoje współrzędne - dla $O$ będą to $(t, x, y, z)$, a dla $O'$: $(t', x', y', z')$. Każdy z obserwatorów znajduje się w punkcie o przestrzennych współrzędnych równych 0 w jego układzie, tzn. dla $O$ mamy $x=y=z=0$, a dla $O'$: $x'=y'=z'=0$. Załóżmy też, że obaj obserwatorzy spotkali się w jednym punkcie w momencie $t=t'=0$ oraz że w układzie obserwatora $O$ obserwator $O'$ porusza się z prędkością $v$ w kierunku $x$, czyli w układzie $O$ współrzędne $O'$ spełniają $x=vt$.

Ponieważ tak naprawdę interesują nas jedynie dwa kierunki - jeden czasowy i jeden przestrzenny - zapomnijmy o $y$, $y'$, $z$, $z'$. Znacznie uprości nam to rozważania, a jednocześnie nie będzie miało wpływu na wnioski.

Drugim ogromnym uproszczeniem będzie, gdy przyjmiemy, że osie $x$ i $x'$ są skierowane w przeciwnych kierunkach. Wtedy sytuacje z punktu widzenia $O$ i $O'$ będą doskonale symetryczne - zarówno $O'$ oddala się od $O$ w kierunku dodatnich $x$, jak i $O$ oddala się od $O'$ w kierunku dodatnich $x'$. Ta idealna symetria pozwala od razu stwierdzić, że w takim razie również $O$ porusza się w układzie $O'$ z prędkością $v$, gdyż niezależnie od tego, którego obserwatora oznaczymy jako $O$, a którego jako $O'$, wszystko będzie wyglądało tak samo.

Przejdźmy teraz do bardziej matematycznych rozważań. Na wstępie zauważmy, że jednorodność i izotropowość przestrzeni oznaczają, iż transformacja między układami odniesienia musi być liniowa, tzn. $x'$ i $t'$ mogą zależeć co najwyżej od pierwszych potęg $x$ i $t$. Czemu? Gdyby w równaniach pojawiły się wyższe potęgi współrzędnych, zmieniałyby one swoją formę przy przesunięciach, tzn. przy zmianie wyboru punktu, który traktujemy jako $(0,0)$. Nie moglibyśmy wówczas uznać, że wszystkie punkty są równie dobre, któryś wybór byłby wyróżniony - a zakładamy, że ma tak nie być.

Liniowe transformacje są o tyle przyjemne, że można zapisywać je przy pomocy macierzy. Naszą transformację z $O$ do $O'$ przedstawimy więc tak:

$$\left[ \begin{array}{c} t' \\ x' \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A(v) & B(v) \\ C(v) & D(v)\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t \\ x \end{array} \right]$$

Dla nieobeznanych z macierzami, ten zapis znaczy to samo, co ten:

$$t' = A(v)t + B(v)x \\ x' = C(v)t + D(v)x$$

Zastanówmy się więc, co możemy wywnioskować na temat współczynników A, B, C, D.

Po pierwsze, ponieważ wiemy, że sytuacja jest symetryczna, możemy od razu napisać:

$$\left[ \begin{array}{c} t \\ x \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A(v) & B(v) \\ C(v) & D(v)\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t' \\ x' \end{array} \right]$$

Transformacja z $O'$ do $O$ musi wyglądać tak samo, jak z $O$ do $O'$, gdyż jak już wspomnieliśmy, zmiana oznaczeń obserwatorów nie zmienia sytuacji. W związku z tym możemy zapisać:

$$\left[ \begin{array}{c} t \\ x \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A(v) & B(v) \\ C(v) & D(v)\end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} A(v) & B(v) \\ C(v) & D(v)\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t \\ x \end{array} \right]$$

To uprości się do:

$$\left[ \begin{array}{c} t \\ x \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A(v)^2 + B(v)C(v) & A(v)B(v) + B(v)D(v) \\ A(v)C(v) + C(v)D(v) & B(v)C(v) + D(v)^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t \\ x \end{array} \right]$$

Żeby wszystko się zgadzało, musi zachodzić:

$$A(v)^2 + B(v)C(v) = 1 \\ A(v)B(v) + B(v)D(v) = 0 \\ A(v)C(v) + C(v)D(v) = 0 \\ B(v)C(v) + D(v)^2 = 1$$

Drugie i trzecie równanie od razu prowadzą do wniosku, że $A(v) = -D(v)$. Pierwsze i czwarte są wtedy równoważne.

Oznaczając macierz transformacji przez $L_1(v)$, mamy więc:

$$L_1(v) = \left[ \begin{array}{cc} A(v) & B(v) \\ C(v) & -A(v)\end{array} \right] \\ A(v)^2 + B(v)C(v) = 1$$

Co dalej? Przypomnijmy sobie, że wspomnieliśmy, że $x' = 0$ oznacza $x = vt$. Ponieważ z macierzy możemy odczytać, że $x' = C(v)t - A(v)x$, otrzymujemy:

$$0 = C(v)t - A(v)vt$$

Dzieląc przez t, dostaniemy $C(v) = vA(v)$. To możemy wstawić do równania $1 = A(v)^2 + B(v)C(v)$ i wyliczyć $B(v)$:

$$1 = A(v)^2 + vB(v)A(v)$$

$$B(v) = \frac{1 - A(v)^2}{vA(v)}$$

Transformacja przyjmuje więc postać:

$$L_1(v) = \left[ \begin{array}{cc} A(v) & \frac{1 - A(v)^2}{vA(v)} \\ vA(v) & -A(v)\end{array} \right]$$

To już bardzo dużo, ale wciąż nie wiemy, czym jest $A(v)$. Żeby to ustalić, potrzebujemy wprowadzić nieco więcej zamieszania.

Przede wszystkim, zrezygnujmy z symetrii. Typowo transformację w STW przedstawia się przy założeniu, że osie $x$ i $x'$ są skierowane w tę samą stronę. Aby osiągnąć ten efekt, wystarczy, że odwrócimy znak $x'$. Jak to zrobić?

Skoro założyliśmy, że $x' = C(v)t + D(v)x$, to po odwróceniu znaku dostaniemy $-x' = -C(v)t - D(v)x$. Zatem aby otrzymać transformację z osiami w tę samą stronę, wystarczy odwrócić znaki dolnych współczynników macierzy. Taką transformację oznaczymy $L(v)$:

$$L(v) = \left[ \begin{array}{cc} A(v) & \frac{1 - A(v)^2}{vA(v)} \\ -vA(v) & A(v)\end{array} \right]$$

Zauważmy też, że jeśli zmienimy zwrot prędkości (tj. prędkość zamiast $v$ będzie $-v$), otrzymamy $t' = A(-v)t + B(-v)x$. Jeśli odwrócimy jeszcze znak $x$, otrzymamy znowu identyczną sytuację w układzie $O$ (przeciwna prędkość i przeciwna oś, czyli obserwator znowu oddala nam się w kierunku dodatnich $x$). Wobec tego $t'$ nie powinno ulec zmianie. Oznacza to, że:

$$A(v)t + B(v)x = A(-v)t - B(-v)x$$

$$A(v)t + \frac{1 - A(v)^2}{vA(v)}x = A(-v)t + \frac{1 - A(-v)^2}{vA(-v)}x$$

Z tego wniosek, że $A(v) = A(-v)$.

Druga część zamieszania polega na wprowadzeniu trzeciego obserwatora. Nazwiemy go $O''$ i powiemy, że porusza się z prędkością $u$ względem $O'$, tzn. dla $O''$ mamy $x' = ut'$. Ile wynosi jego prędkość względem $O$? Oznaczmy ją $V$, co będzie oznaczało, że $x = Vt$. Aby przejść z $O'$ do $O$, musimy dokonać transformacji o $-v$:

$$\left[ \begin{array}{c} t \\ Vt \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A(v) & \frac{1 - A(v)^2}{-vA(v)} \\ vA(v) & A(v)\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t' \\ ut' \end{array} \right]$$

Stąd mamy:

$$t = A(v)t' - \frac{1 - A(v)^2}{A(v)}\frac{u}{v}t' \\ Vt = vA(v)t' + A(v)ut'$$

Wstawiamy $t$ z pierwszego wzoru do drugiego i mamy:

$$V = \frac{u+v}{1 + \frac{A(v)^2 - 1}{A(v)^2}\frac{u}{v}}$$

Nadążacie? To teraz w drugą stronę: $O$ porusza się z prędkością $-V$ względem $O''$, a z prędkością $-v$ względem $O'$, więc transformujemy o $u$ z $O'$ do $O''$:

$$\left[ \begin{array}{c} t'' \\ -Vt'' \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A(u) & \frac{1 - A(u)^2}{uA(u)} \\ -uA(u) & A(u)\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t' \\ -vt' \end{array} \right]$$

Czyli:

$$t'' = A(u)t' - \frac{1-A(u)^2}{A(u)}\frac{v}{u}t' \\ -Vt'' = -uA(u)t' - A(u)vt'$$

To daje:

$$V = \frac{u+v}{1 + \frac{A(u)^2 - 1}{A(u)^2}\frac{v}{u}}$$

Uff. Otrzymaliśmy $V$ na dwa sposoby. To jest jednak to samo $V$, więc oba wyniki muszą być równe. Równe muszą być zatem mianowniki:

$$1 + \frac{A(u)^2 - 1}{A(u)^2}\frac{v}{u} = 1 + \frac{A(v)^2 - 1}{A(v)^2}\frac{u}{v}$$

Po odjęciu 1 i podzieleniu przez $uv$ mamy:

$$\frac{A(u)^2 - 1}{u^2A(u)^2} = \frac{A(v)^2 - 1}{v^2A(v)^2}$$

I tu mamy gwóźdź programu. Lewa strona zależy tylko od $u$, a druga tylko od $v$, które są niezależnymi od siebie parametrami. Jeśli ustalimy jakieś konkretne $u$, to lewa strona jest ustalona, ale $v$ nadal możemy zmieniać. Mimo tego prawa strona nie ma prawa się zmienić, ponieważ wciąż musi być równa lewej. Z tego wniosek, że obie strony są równe jakiejś stałej liczbie, nazwijmy ją $\alpha$:

$$\alpha = \frac{A(v)^2 - 1}{v^2A(v)^2}$$

Rozwiązanie tego na $A(v)$ prowadzi do wyniku:

$$A(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha v^2}}$$

Możemy zatem zapisać gotową transformację:

$$L(v) = \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha v^2}} & \frac{-\alpha v}{\sqrt{1 - \alpha v^2}} \\ \frac{-v}{\sqrt{1 - \alpha v^2}} & \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha v^2}}\end{array} \right]$$

Wszystko fajnie, ale ile wynosi $\alpha$...?

Po pierwsze, zastanówmy się, jakie są konsekwencje różnych wartości stałej $\alpha$.

Wartość zerowa

Ten przypadek jest najprostszy. Gdy $\alpha = 0$, transformacja sprowadza się do:

$$t' = t \\ x' = x - vt$$

To nic innego, jak transformacja Galileusza! Zatem jeśli wartość stałej wyjdzie nam 0, okaże się, że ludzie znali właściwą transformację już od XVII wieku.

Wartość ujemna

To też ciekawy przypadek. Gdy wartość stałej $\alpha$ jest ujemna, możemy przyjąć, że $\alpha = -\frac{1}{k^2}$. Transformacja wygląda wtedy tak:

$$L(v) = \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{k^2}}} & \frac{v}{k^2 \sqrt{1 + \frac{v^2}{k^2}}} \\ \frac{-v}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{k^2}}} & \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{k^2}}} \end{array} \right]$$

Wprowadźmy nowe zmienne: $y' = kt'$ oraz $y = kt$. Mamy wtedy:

$$\left[ \begin{array}{c} y' \\ x' \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{k^2}}} & \frac{\frac{v}{k}}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{k^2}}} \\ \frac{-\frac{v}{k}}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{k^2}}} & \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{k^2}}}\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} y \\ x \end{array} \right]$$

Zdefiniujmy pewien kąt $\varphi$ taki, że $\tan \varphi = \frac{v}{k}$. To sprowadzi nam transformację do postaci:

$$L(\varphi) = \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \varphi}} & \frac{\tan \varphi}{\sqrt{1 + \tan^2 \varphi}} \\ \frac{-\tan \varphi}{\sqrt{1 + \tan^2 \varphi}} & \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \varphi}} \end{array} \right]$$

Ale! Z trygonometrii wiemy, że:

$$\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \varphi}} \\ \sin \varphi = \frac{\tan \varphi}{\sqrt{1 + \tan^2 \varphi}}$$

Mamy więc:

$$L(\varphi) = \left[ \begin{array}{cc} \cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array} \right]$$

To nic innego, jak macierz obrotu o kąt $\varphi$! Tak więc w przypadku ujemnej stałej $\alpha$, czas jest tylko kolejnym wymiarem przestrzennym, a zmiana prędkości o $v$ jest obrotem o kąt $\arctan (\sqrt{-\alpha}v)$.

Wartość dodatnia

Okazuje się, że w naturze stała $\alpha$ ma wartość dodatnią (jak się okazuje, opowiem za chwilę). Można wtedy oznaczyć $\alpha = \frac{1}{v_0^2}$, gdzie $v_0$ jest jakąś stałą o wymiarze prędkości. Ta stała ma pewną szczególną własność. Żeby zobaczyć jaką, zobaczmy najpierw, jak transformować prędkości.

Transformacji prędkości dokonywaliśmy już przy wyprowadzaniu postaci współczynników macierzy. Zróbmy to więc jeszcze raz - załóżmy, że pewne ciało porusza się z prędkością $u$ względem $O'$ (czyli spełnia $x' = ut'$ i policzmy, jak porusza się w układzie $O$:

$$\left[ \begin{array}{c} t \\ Vt \end{array} \right] = L(-v) \left[ \begin{array}{c} t' \\ ut' \end{array} \right]$$

Przepiszmy macierz $L(-v)$:

$$\left[ \begin{array}{c} t \\ Vt \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{v_0^2}}} & \frac{\frac{v}{v_0^2}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{v_0^2}}} \\ \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{v_0^2}}} & \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{v_0^2}}}\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t' \\ ut' \end{array} \right]$$

Mamy więc:

$$t = \frac{t' + \frac{uv}{v_0^2}t'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{v_0^2}}} \\ Vt = \frac{vt' + ut'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{v_0^2}}}$$

Dzieląc stronami, otrzymujemy:

$$V = \frac{u + v}{1 + \frac{uv}{v_0^2}}$$

Zobaczmy, co się stanie, gdy $u = v_0$:

$$V = \frac{v_0 + v}{1 + \frac{vv_0}{v_0^2}} = \frac{v_0 + v}{1 + \frac{v}{v_0}} = v_0$$

Zatem gdy ciało porusza się z prędkością $v_0$ względem układu $O'$, względem układu $O$ porusza się również z prędkością $v_0$, niezależnie od tego jaka jest prędkość względna układów $O$ i $O'$. $v_0$ jest więc swego rodzaju prędkością uniwersalną, niezależną od układu odniesienia.

W przypadku dodatnim można także zrobić podobny trik, co w przypadku ujemnym, i wprowadzić wielkość $\eta$ zwaną "pospiesznością", taką że: $\tanh \eta = \frac{v}{v_0}$. Wprowadzając, analogicznie, $y = v_0t$, otrzymujemy:

$$L(\eta) = \left[ \begin{array}{cc} \cosh \eta & -\sinh \eta \\ -\sinh \eta & \cosh \eta \end{array} \right]$$

Jest to macierz przekształcenia analogicznego do obrotu, ale w tzw. czasoprzestrzeni Minkowskiego. Nie będę się już wgłębiał w szczegóły, ale ta idea okazuje się być bardzo przydatna do rozważań w STW.

Wyznaczanie stałej $\alpha$

Wiemy, co oznaczają różne wartości stałej $\alpha$, ale wciąż nie wiemy, jaka jest jej wartość w naturze. Mamy jednak już piękny opis zjawisk, które powinny zachodzić dla różnych wartości $\alpha$, więc można próbować ją zmierzyć. W szczególności wiemy, jak powinny dodawać się prędkości:

$$V = \frac{u + v}{1 + \alpha uv}$$

Jednego z pomiarów stałej $\alpha$ dokonał już w roku 1851 francuski fizyk Armand Fizeau, jednak wtedy jeszcze nie wiedział, że może istnieć taka stała, ani że z jego pomiarów wynika jej wartość ;) To, czego dokonał Fizeau, to pomiar prędkości światła w powietrzu, w wodzie oraz w płynącej wodzie.

Prędkość światła w wodzie wynosi $\frac{c}{n}$, gdzie $n$ to współczynnik załamania dla wody. W wodzie płynącej z prędkością $v$ spodziewał się otrzymać wynik $\frac{c}{n} + v$, zgodnie z transformacją Galileusza, ale otrzymał $\frac{c}{n} + v \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$. Zobaczmy, jakie wnioski daje ten wynik względem stałej $\alpha$.

Jeśli założymy, że $\alpha uv$ jest małe, możemy wzór na składanie prędkości przybliżyć:

$$V = (u+v)(1 - \alpha uv + ...)$$

gdzie w miejscu "..." będą wyrazy z wyższymi potęgami $\alpha uv$, czyli jeszcze mniejsze.

Gdy $u = \frac{c}{n}$, otrzymujemy:

$$V \approx (\frac{c}{n} + v)\left(1 - \alpha \frac{c}{n} v \right) = \frac{c}{n} + v - \alpha \frac{c^2}{n^2}v - \alpha \frac{c}{n} v^2$$

Ponieważ $\frac{c}{n}$ było w eksperymencie Fizeau dużo większe od $v$, to jest w przybliżeniu równe:

$$V \approx \frac{c}{n} + v \left(1 - \alpha \frac{c^2}{n^2} \right)$$

Aby to było zgodne z wynikiem Fizeau, musi zachodzić $\alpha \approx \frac{1}{c^2}$. Co niezbyt zaskakujące, założenie, że to prędkość światła jest prędkością uniwersalną, daje dokładnie $\alpha = \frac{1}{c^2}$.

Wnioski

Otrzymaliśmy więc Szczególną Teorię Względności, nie zakładając stałości prędkości światła. Ściśle rzecz biorąc, otrzymaliśmy wynik, że istnieje prędkość uniwersalna, w przybliżeniu równa prędkości światła - lecz jak do tej pory wszystkie wykonywane eksperymenty są zgodne z teorią, w której jest to dokładnie prędkość światła.

Pokazaliśmy więc, że możemy otrzymać STW nawet nie zakładając, że prędkość światła jest prędkością uniwersalną. Niezależnie od tego założenia, eksperymenty wskazują, że prędkość uniwersalna istnieje i że z dużą dokładnością jest nią prędkość światła (oryginalny eksperyment Fizeau mógł nie dać aż takiej pewności, ale od tamtego czasu minęło 150 lat i obecnie mamy dużo dokładniejsze wyniki). Jeśli więc nawet okazałoby się, że prędkość światła może zależeć od układu odniesienia - co nie jest całkowicie wykluczone - nie ma to żadnego znaczenia dla zjawisk, które zatruwają życie przeciwnikom STW, takich jak dylatacja czasu, skrócenie Lorentza czy istnienie uniwersalnej prędkości. Te zjawiska wynikają z czegoś znacznie ogólniejszego, niż stałość prędkości światła i żeby całkowicie zmienić ich interpretację, trzeba by było odkrycia znacznie większego, niż niestałość prędkości światła.

Warto o tym wszystkim pamiętać, gdy następnym razem natkniecie się na osobę, która gorączkowo będzie Was przekonywać, że STW to spisek świata nauki ;)