Część 3 - metryka

ebvalaim 2015-06-13 0 Comments

Spis treści serii

Wspomnieliśmy już o czymś takim, jak długość wektora, jednak nic o tym, co to właściwie jest. Na płaszczyźnie sprawa jest prosta - gdy przesuniemy się o $v_x$ w osi $x$ i $v_y$ w osi $y$, odległość między punktami początkowym i końcowym wynosi $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ (co można zobaczyć, rysując trójkąt prostokątny i korzystając z twierdzenia Pitagorasa - patrz rysunek). Nie zawsze jednak musi to tak wyglądać i tu wkracza metryka.

Metryka to sposób na uogólnienie twierdzenia Pitagorasa. Nie zawsze współrzędne odpowiadają odległościom wzdłuż prostopadłych osi i nie zawsze da się utworzyć takie współrzędne (ale nie uprzedzajmy faktów). Chcemy zatem mieć jakiś sposób liczenia odległości między punktami przesuniętymi o $\Delta x^\mu$, gdy $x^\mu$ to współrzędne określone w jakiś bliżej niesprecyzowany sposób.

Okazuje się, że da się to zrobić, wprowadzając zestaw liczb $g_{\mu\nu}$ (2 indeksy oznaczają, że w 4 wymiarach mamy 4x4 = 16 funkcji - choć, jak się zaraz okaże, nie do końca). Powiemy teraz, że punkty odległe w poszczególnych współrzędnych o $\Delta x^\mu$ dzieli odległość, której kwadrat wynosi $g_{\mu\nu}\Delta x^\mu \Delta x^\nu$. Uwaga na konwencję sumacyjną! To oznacza $g_{00}(\Delta x^0)^2 + g_{01}\Delta x^0 \Delta x^1 + ... + g_{10}\Delta x^1 \Delta x^0 + g_{11}(\Delta x^1)^2 + ...$
Ponieważ mnożenie jest przemienne, $\Delta x^0 \Delta x^1 = \Delta x^1 \Delta x^0$ i możemy to pozbierać tak: $g_{00}(\Delta x^0)^2 + (g_{01}+g_{10})\Delta x^0 \Delta x^1 + g_{11}(\Delta x^1)^2 + ...$

Okazuje się, że we wszystkich fizycznych wielkościach wyrazy z $g_{\mu\nu}$ dla $\mu \neq \nu$ zawsze będą sumowane - nie ma więc znaczenia, jak ta suma dzieli się między $g_{\mu\nu}$ i $g_{\nu\mu}$. Możemy więc przyjąć, że takie wyrazy są równe i zamiana indeksów nic nie zmienia. Oznacza to, że w 4 wymiarach z 16 liczb robi się tak naprawdę 10.

Ponieważ mamy 2 indeksy, metrykę często przedstawia się w postaci tabelki (macierzy):

$$g_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{cccc}g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\ g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{array}\right)$$

10 wspomnianych wyżej liczb to 4 liczby na przekątnej ($g_{00}$, $g_{11}$, $g_{22}$, $g_{33}$) i 6 liczb powyżej/poniżej przekątnej (powyżej i poniżej będą te same liczby).

W najprostszym przypadku, na płaszczyźnie, kwadrat odległości między punktami wynosi $\Delta x^2 + \Delta y^2$, czyli metryka wygląda tak:

$$g = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$$

Taką metrykę (jedynki na przekątnej, zera gdzie indziej) nazywa się czasem jednostkową albo trywialną (bo jest to najprostsza możliwa metryka). Słowo "jednostkowa" odnosi się zresztą ogólnie do tak wyglądających macierzy.

Możemy teraz w końcu powiedzieć, co to jest długość wektora. Skoro wektor reprezentuje przesunięcie o $v^\mu$, jego długość będzie wynosiła $|v| = \sqrt{g_{\mu\nu}v^\mu v^\nu}$ (znów przypominam o konwencji sumacyjnej!).

To jednak jeszcze nie koniec zabawy. Nikt nie powiedział, że metryka musi być taka sama w każdym punkcie przestrzeni. Gdy jest różna w różnych punktach, znaczy to, że liczby $g_{\mu\nu}$ przestają być liczbami, a zaczynają być funkcjami, zależnymi od punktu w przestrzeni. Nie da się wtedy za bardzo mówić o odległościach między punktami, gdyż metryka może się zmienić na odcinku między nimi. Można natomiast mówić o długości nieskończenie małych (infinitezymalnych) odcinków, na których współrzędne różnią się o $dx^\mu$ (oznaczenie takie jak przy różniczkowaniu nie jest przypadkowe - wtedy też rozpatruje się punkty w granicy nieskończenie blisko siebie).

Co wobec tego z wektorami? Otóż wektory traktuje się tak, jakby całe znajdowały się w jednym punkcie - swoim punkcie zaczepienia. Ściślej, wektory nie są częścią rozmaitości, a tzw. przestrzeni stycznej. Nie będziemy się zagłębiać w ten temat - wystarczy powiedzieć, że ich długość liczymy wciąż tak samo, używając współczynników metryki z ich punktu zaczepienia.

Przypomnijmy też, że często przez wektor rozumiemy tak naprawdę pole wektorowe. Wówczas zapis $\sqrt{g_{\mu\nu} v^\mu v^\nu}$ oznacza funkcję, która każdemu punktowi przestrzeni przypisuje długość pola wektorowego w tym punkcie.

Znów czas na przykład. Jedna z prostszych zmiennych metryk pojawia się, gdy na płaszczyźnie wprowadzimy tzw. współrzędne biegunowe - to znaczy, zamiast $x$ i $y$ mierzących odległość od początku układu wzdłuż prostopadłych osi wprowadzamy $r$ - odległość od początku układu i $\theta$ - kąt między kierunkiem do punktu z początku układu a osią x (patrz rysunek poniżej).

W takim przypadku, gdy współrzędną $r$ zmienimy o $dr$, a współrzędną $\theta$ o $d\theta$, otrzymamy punkt odległy o $dr^2 + r^2 d\theta^2$ (w jednym kierunku przesuwamy się o $dr$, a w prostopadłym, wzdłuż okręgu - o łuk długości $rd\theta$; gdy $dr$ i $d\theta$ są bliskie 0, to działa tak, jakby były bokami trójkąta prostokątnego - patrz rysunek). Metryka wobec tego wygląda tak:
$g_{rr} = 1$
$g_{\theta\theta} = r^2$
$g_{r\theta} = g_{\theta r} = 0$
albo:
$g = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{array}\right)$

Załóżmy, że mamy pole wektorowe $v^r = 0$, $v^\theta = 1$. Jego długość to $|v| = \sqrt{1 \times (v^r)^2 + r^2 \times (v^\theta)^2} = \sqrt{r^2} = r$. Oznacza to, że takie pole wektorowe jest tym dłuższe, im dalej jest od centrum. Nic dziwnego - w końcu opisuje ono przesuwanie się o tyle samo w kącie $\theta$, a im dalej od środka, tym łuki odpowiadające temu samemu kątowi są dłuższe.

Inny przykład: sfera. Gdy wprowadzimy współrzędne $(\theta, \varphi)$ (szerokość i długość geograficzną), dostaniemy metrykę:
$g = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta \end{array}\right)$

Liczenie długości wektorów to nie jedyna funkcja metryki. Można dzięki niej liczyć uogólnione iloczyny skalarne. W uproszczeniu, iloczyn skalarny pozwala na obliczanie kątów między wektorami. W przypadku dwóch wektorów na płaszczyźnie liczy się go tak: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_xv_x + u_yv_y$. W większej liczbie wymiarów jest analogicznie, tylko trzeba wysumować więcej iloczynów współrzędnych. W przypadku nietrywialnej metryki, uogólnia się to do $g_{\mu\nu} u^\mu v^\nu$. A związek z kątem? Okazuje się, że $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v|\cos \alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt między wektorami (na ogół - później zobaczymy, że w teorii względności iloczyn skalarny ma zupełnie inną interpretację).

Istnieje jeszcze jedno ważne zastosowanie metryki. Otóż pozwala ona przekształcać wektory w kowektory i na odwrót. Zobaczmy: mamy wektor $v^\mu$. Korzystając z metryki, możemy stworzyć odpowiadający mu kowektor $v_\mu = g_{\mu\nu}v^\nu$ (czyli np. $v_0 = g_{00}v^0 + g_{01}v^1 + g_{02}v^2 + g_{03}v^3$). Nazywa się to opuszczeniem wskaźnika.

Gdy metryka jest jednostkowa, otrzymamy zawsze $v_\mu = v^\mu$ - w takim przypadku wektory i kowektory są praktycznie tym samym. Jednak przy niejednostkowych metrykach zawsze otrzymamy trochę co innego.

Możliwość opuszczenia wskaźnika pozwala na wprowadzenie nowego sposobu zapisania długości wektora: $|v| = \sqrt{v^\mu v_\mu}$.

Wskaźniki da się opuszczać, a co z podnoszeniem? Czy da się z kowektora $u_\mu$ zrobić wektor $u^\mu$? Otóż da się, ale do tego potrzeba metryki odwrotnej. Metryka odwrotna to taka macierz $g^{\mu\nu}$, która przemnożona przez metrykę da macierz jednostkową: $g^{\mu\sigma}g_{\sigma\nu} = \delta^\mu_\nu$ ($\delta^\mu_\nu$ to tzw. delta Kroneckera - macierz, która zawiera 1 dla $\mu=\nu$ i 0 gdzie indziej - czyli po prostu macierz jednostkowa z jednym wskaźnikiem na górze, a drugim na dole). Podnoszenie wskaźnika wygląda wtedy tak: $u^\mu = g^{\mu\nu}u_\nu$.

Co się wobec tego stanie, gdy weźmiemy wektor, po czym najpierw opuścimy mu wskaźnik, a potem z powrotem podniesiemy? Otrzymamy:
$u^\mu = g^{\mu\sigma}g_{\sigma\nu}v^\nu$
Jak już wiemy, iloczyn metryki odwrotnej i metryki to delta Kroneckera, więc to można zapisać:
$u^\mu = \delta^\mu_\nu v^\nu$
Ale, ale. Obliczmy, dla przykładu, $u^0$:
$u^0 = \delta^0_0 v^0 + \delta^0_1 v^1 + \delta^0_2 v^2 + \delta^0_3 v^3$.
Jak już wspominaliśmy, delta Kroneckera jest równa 1 dla równych wskaźników i 0 dla różnych, więc mamy:
$u^0 = 1 \times v^0 + 0 \times v^1 + 0 \times v^2 + 0 \times v^3$
$u^0 = v^0$
I tak będzie dla wszystkich $\mu$. Mamy więc: $u^\mu = v^\mu$ - wektor się nie zmienił. Opuszczenie wskaźnika i podniesienie go z powrotem daje znowu to samo.

Przy okazji, mamy kolejny wniosek: przemnożenie przez deltę Kroneckera nic nie zmienia. $\delta^\mu_\nu v^\nu = v^\mu$, $\delta^\nu_\mu u_\nu = u_\mu$. Dlatego zresztą taka macierz nazywa się "jednostkowa" - mnożenie przez 1 nie zmienia liczby, mnożenie przez macierz jednostkową nie zmienia wektorów/macierzy.

To tyle, co potrzebujemy wiedzieć o metrykach. W następnej części powiemy jeszcze trochę o opisywaniu krzywych i liniach geodezyjnych, a potem przejdziemy już do fizyki.