Wskrzeszamy serię po paru latach ;)
W poprzedniej części opisałem, czym jest metryka i jak zastosować ją do liczenia długości wektorów, a także do podnoszenia i opuszczania wskaźników. Tym razem zobaczymy, jak rozszerzyć jej zastosowanie na liczenie długości krzywych. Zanim jednak do tego przejdziemy, musimy powiedzieć sobie, czym właściwie są krzywe i jak je opisywać.
Najprościej rzecz ujmując, krzywa to po prostu pewna linia w przestrzeni, łącząca jakieś punkty. Zaczynamy w punkcie A, przesuwamy się w sposób ciągły i lądujemy w punkcie B.

Matematycznie rzecz biorąc, krzywa jest odwzorowaniem jakiegoś przedziału liczbowego w naszą przestrzeń. Każdej liczbie z jakiegoś przedziału
przypisuje punkt w przestrzeni, który może być opisany zestawem współrzędnych
. Zmienną
nazywamy wtedy parametrem, a funkcje
- parametryzacją krzywej.
Na przykład, naszą przykładową krzywą możemy sparametryzować tak, że liczbie t=0 będzie odpowiadał punkt A, liczbie t=1 - punkt B, a pozostałe punkty krzywej będą odpowiadały wartościom t gdzieś pomiędzy 0 a 1:

Co istotne - ta sama krzywa może być parametryzowana na wiele sposobów. Moglibyśmy nasze odwzorowanie zdefiniować np. tak:

W tym przypadku liczba t zmienia się od 0 do 5, a punkt B odpowiada t=5 zamiast t=1. Poza tym jednak jest to dokładnie ta sama krzywa.
Kolejnym przydatnym pojęciem dotyczącym krzywych jest wektor styczny do krzywej.
Wektor styczny - a dokładniej: pole wektorów stycznych, bowiem będzie to inny wektor w każdym punkcie krzywej - znaleźć bardzo łatwo. Wystarczy po prostu zróżniczkować parametryzację krzywej:
Często, dla skrócenia zapisu, pochodną po parametrze zapisuje się jako kropkę nad zmienną:
Wektor styczny może wyglądać np. tak:

Ponieważ licząc wektor styczny różniczkujemy po parametrze, dokładne współrzędne wektora stycznego już zależą od parametryzacji.
OK, wiemy już, jak można parametryzować krzywe i jak można znajdować wektory styczne do nich. A jak liczyć ich długość?
Do tego potrzebna będzie metryka.
Przypomnijmy sobie jeszcze raz, czym była metryka. Metryka pozwala na obliczenie odległości punktów odległych o - taka odległość wynosi
. Jak znaleźć
?
Weżmy dwa punkty na krzywej, odpowiadające parametrom i
:
i
. Różnica tych współrzędnych to nasze
:
.
Zauważmy jednak, że gdyby obie strony tej ostatniej równości podzielić przez , to otrzymamy nie co innego, a pochodną współrzędnej po parametrze:
, czyli
.
Innymi słowy, punkty, których parametry różnią się o , są od siebie odległe o:
To jest też nic innego, jak po prostu długość wektora stycznego wymnożona przez :
.
Jeśli wysumujemy wszystkie takie długości nieskończenie małych fragmentów krzywej, otrzymamy długość całej krzywej. Długość naszej krzywej to wobec tego całka z wyrażenia powyżej:
Do tej pory było bardzo abstrakcyjnie, czas więc na przykład.
Przykład będzie bardzo prosty. Obliczymy sobie długość ćwiartki okręgu na płaszczyźnie - najpierw we współrzędnych kartezjańskich, a potem, żeby zademonstrować co się dzieje przy mniej trywialnej metryce - w biegunowych.
Sparametryzujemy sobie nasz łuk kątem - początek łuku, punkt A na osi x, będzie odpowiadał
, a koniec - punkt B na osi y -
.
Współrzędne na krzywej - - będą wyglądały tak:

Wektor styczny w każdym punkcie wygląda tak:
Metryka na płaszczyźnie we współrzędnych kartezjańskich to metryka jednostkowa - więc nasz "element długości" wygląda tak:
W związku z tym całka jest bardzo prosta:
I koniec. Proste? Proste ;)
A jak to będzie wyglądało we współrzędnych biegunowych ? Jeszcze prościej.
We współrzędnych biegunowych nasza parametryzacja wygląda tak:
Wektor styczny:
W tych współrzędnych jednak dla odmiany nietrywialna jest metryka: ,
. W związku z tym element długości wygląda tak:
I... otrzymaliśmy tyle samo. Nic w sumie dziwnego, bo to ta sama krzywa i ta sama parametryzacja, tylko wyrażona w innych współrzędnych.
Warto tylko zwrócić uwagę, że we współrzędnych kartezjańskich w wyniku brało się ze współrzędnych wektora stycznego - we współrzędnych biegunowych, wektor styczny wyraża się o wiele prościej, a
pojawia się ze współczynnika w metryce.
Nawiasem mówiąc, dzięki podobnym obliczeniom można znajdować współczynniki metryki w jednym układzie współrzędnych na podstawie współczynników w innym.
Dobra, to na koniec zróbmy jeszcze coś ambitniejszego. Obliczymy sobie długość jakiejś krzywej na sferze.
Na sferze najczęściej używa się współrzędnych -
to prawie szerokość geograficzna (
odpowiada jednemu biegunowi,
- drugiemu, a
to równik), a
- prawie długość geograficzna (też numeruje "południki", ale od
do
). Metryka w takich współrzędnych ma postać:
Jako krzywą wybierzemy sobie coś prostego, np.:
To jest po prostu równoleżnik - jest stałe, zmienia się tylko
.
Pochodne (czyli współrzędne wektora stycznego) są:
Po podstawieniu do elementu długości mamy:
Zauważmy, że we współczynniku metryki pojawiło się
- tu współczynnik metryki zależy od punktu, więc
we współczynniku to współrzędna punktu na krzywej - ale w naszym przykładzie jest ona zawsze równa
, więc możemy po prostu podstawić tę wartość.
Całkując od do
, czyli po całym obwodzie równoleżnika, dostaniemy:
I już. Długość (obwód) równoleżnika na szerokości wynosi
(na sferze o promieniu 1).
Tyle w tej części. W następnej opowiem, co to są geodezyjne, jak wygląda równanie geodezyjnej, policzymy sobie też równanie geodezyjnej na płaszczyźnie i na sferze. Do następnego razu!