Część 4 - krzywe i ich długość

ebvalaim 2019-04-17 0 Comments

Spis treści serii

Wskrzeszamy serię po paru latach ;)

W poprzedniej części opisałem, czym jest metryka i jak zastosować ją do liczenia długości wektorów, a także do podnoszenia i opuszczania wskaźników. Tym razem zobaczymy, jak rozszerzyć jej zastosowanie na liczenie długości krzywych. Zanim jednak do tego przejdziemy, musimy powiedzieć sobie, czym właściwie są krzywe i jak je opisywać.

Najprościej rzecz ujmując, krzywa to po prostu pewna linia w przestrzeni, łącząca jakieś punkty. Zaczynamy w punkcie A, przesuwamy się w sposób ciągły i lądujemy w punkcie B.

Matematycznie rzecz biorąc, krzywa jest odwzorowaniem jakiegoś przedziału liczbowego w naszą przestrzeń. Każdej liczbie $t$ z jakiegoś przedziału $[a,b]$ przypisuje punkt w przestrzeni, który może być opisany zestawem współrzędnych $x^\mu(t)$. Zmienną $t$ nazywamy wtedy parametrem, a funkcje $x^\mu(t)$ - parametryzacją krzywej.

Na przykład, naszą przykładową krzywą możemy sparametryzować tak, że liczbie t=0 będzie odpowiadał punkt A, liczbie t=1 - punkt B, a pozostałe punkty krzywej będą odpowiadały wartościom t gdzieś pomiędzy 0 a 1:

Co istotne - ta sama krzywa może być parametryzowana na wiele sposobów. Moglibyśmy nasze odwzorowanie zdefiniować np. tak:

W tym przypadku liczba t zmienia się od 0 do 5, a punkt B odpowiada t=5 zamiast t=1. Poza tym jednak jest to dokładnie ta sama krzywa.

Kolejnym przydatnym pojęciem dotyczącym krzywych jest wektor styczny do krzywej.

Wektor styczny - a dokładniej: pole wektorów stycznych, bowiem będzie to inny wektor w każdym punkcie krzywej - znaleźć bardzo łatwo. Wystarczy po prostu zróżniczkować parametryzację krzywej:

$$v^\mu = \frac{dx^\mu}{dt}$$

Często, dla skrócenia zapisu, pochodną po parametrze zapisuje się jako kropkę nad zmienną:

$$v^\mu = \dot{x}^\mu$$

Wektor styczny może wyglądać np. tak:

Ponieważ licząc wektor styczny różniczkujemy po parametrze, dokładne współrzędne wektora stycznego już zależą od parametryzacji.

OK, wiemy już, jak można parametryzować krzywe i jak można znajdować wektory styczne do nich. A jak liczyć ich długość?

Do tego potrzebna będzie metryka.

Przypomnijmy sobie jeszcze raz, czym była metryka. Metryka pozwala na obliczenie odległości punktów odległych o $dx^\mu$ - taka odległość wynosi $\sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}$. Jak znaleźć $dx^\mu$?

Weżmy dwa punkty na krzywej, odpowiadające parametrom $t$ i $t+dt$: $x^\mu(t)$ i $x^\mu(t+dt)$. Różnica tych współrzędnych to nasze $dx^\mu$: $dx^\mu = x^\mu(t+dt) - x^\mu(t)$.

Zauważmy jednak, że gdyby obie strony tej ostatniej równości podzielić przez $dt$, to otrzymamy nie co innego, a pochodną współrzędnej po parametrze: $\frac{dx^\mu}{dt} = \dot{x}^\mu$, czyli $dx^\mu = \dot{x}^\mu dt$.

Innymi słowy, punkty, których parametry różnią się o $dt$, są od siebie odległe o:

$$dl = \sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu} = \sqrt{g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu dt^2} = \sqrt{ g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu } dt$$

To jest też nic innego, jak po prostu długość wektora stycznego wymnożona przez $dt$: $\sqrt{g_{\mu\nu} v^\mu v^\nu} dt$.

Jeśli wysumujemy wszystkie takie długości nieskończenie małych fragmentów krzywej, otrzymamy długość całej krzywej. Długość naszej krzywej to wobec tego całka z wyrażenia powyżej:

$$l = \int dl = \int\limits_{t_A}^{t_B} \sqrt{g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} dt$$

Do tej pory było bardzo abstrakcyjnie, czas więc na przykład.

Przykład będzie bardzo prosty. Obliczymy sobie długość ćwiartki okręgu na płaszczyźnie - najpierw we współrzędnych kartezjańskich, a potem, żeby zademonstrować co się dzieje przy mniej trywialnej metryce - w biegunowych.

Sparametryzujemy sobie nasz łuk kątem $\varphi$ - początek łuku, punkt A na osi x, będzie odpowiadał $\varphi = 0$, a koniec - punkt B na osi y - $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

Współrzędne na krzywej - $x^\mu(\varphi)$ - będą wyglądały tak:

$$x(\varphi) = r \cos \varphi$$

$$y(\varphi) = r \sin \varphi$$

Wektor styczny w każdym punkcie wygląda tak:

$$v^\mu = \left[ \begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} -r \sin \varphi \\ r \cos \varphi \end{array}\right]$$

Metryka na płaszczyźnie we współrzędnych kartezjańskich to metryka jednostkowa - więc nasz "element długości" $dl$ wygląda tak:

$$dl = \sqrt{g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} d\varphi = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} d\varphi = r d\varphi$$

W związku z tym całka jest bardzo prosta:

$$l = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} rd\varphi = \frac{\pi}{2}r$$

I koniec. Proste? Proste ;)

A jak to będzie wyglądało we współrzędnych biegunowych $(r, \vartheta)$? Jeszcze prościej.

We współrzędnych biegunowych nasza parametryzacja wygląda tak:

$$r(\varphi) = r = \textrm{const}$$

$$\vartheta(\varphi) = \varphi$$

Wektor styczny:

$$v^\mu = \left[ \begin{array}{c} \dot{r} \\ \dot{\vartheta} \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right]$$

W tych współrzędnych jednak dla odmiany nietrywialna jest metryka: $g_{rr} = 1$, $g_{\vartheta\vartheta} = r^2$. W związku z tym element długości wygląda tak:

$$dl = \sqrt{g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} d\varphi = \sqrt{\dot{r}^2 + r^2 \dot{\vartheta}^2} d\varphi = r d\varphi$$

I... otrzymaliśmy tyle samo. Nic w sumie dziwnego, bo to ta sama krzywa i ta sama parametryzacja, tylko wyrażona w innych współrzędnych.

Warto tylko zwrócić uwagę, że we współrzędnych kartezjańskich $r$ w wyniku brało się ze współrzędnych wektora stycznego - we współrzędnych biegunowych, wektor styczny wyraża się o wiele prościej, a $r$ pojawia się ze współczynnika w metryce.

Nawiasem mówiąc, dzięki podobnym obliczeniom można znajdować współczynniki metryki w jednym układzie współrzędnych na podstawie współczynników w innym.

Dobra, to na koniec zróbmy jeszcze coś ambitniejszego. Obliczymy sobie długość jakiejś krzywej na sferze.

Na sferze najczęściej używa się współrzędnych $(\vartheta, \varphi)$ - $\vartheta$ to prawie szerokość geograficzna ($0$ odpowiada jednemu biegunowi, $\pi$ - drugiemu, a $\frac{\pi}{2}$ to równik), a $\varphi$ - prawie długość geograficzna (też numeruje "południki", ale od $0$ do $2\pi$). Metryka w takich współrzędnych ma postać:

$$g = \left( \begin{array}{cc} g_{\vartheta\vartheta} & g_{\vartheta\varphi} \\ g_{\varphi\vartheta} & g_{\varphi\varphi} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \vartheta \end{array}\right)$$

Jako krzywą wybierzemy sobie coś prostego, np.:

$$\vartheta(t) = \vartheta_0$$

$$\varphi(t) = t$$

To jest po prostu równoleżnik - $\vartheta$ jest stałe, zmienia się tylko $\varphi$.

Pochodne (czyli współrzędne wektora stycznego) są:

$$\dot{\vartheta} = 0$$

$$\dot{\varphi} = 1$$

Po podstawieniu do elementu długości mamy:

$$dl = \sqrt{g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} dt = \sqrt{g_{\vartheta\vartheta} \dot{\vartheta}^2 + g_{\varphi\varphi} \dot{\varphi}^2} dt = \sqrt{0 + \sin^2 \vartheta_0 \times 1^2} dt = \sin \vartheta_0 dt$$

Zauważmy, że we współczynniku metryki $g_{\varphi\varphi}$ pojawiło się $\vartheta_0$ - tu współczynnik metryki zależy od punktu, więc $\vartheta$ we współczynniku to współrzędna punktu na krzywej - ale w naszym przykładzie jest ona zawsze równa $\vartheta_0$, więc możemy po prostu podstawić tę wartość.

Całkując od $0$ do $2\pi$, czyli po całym obwodzie równoleżnika, dostaniemy:

$$l = \int\limits_0^{2\pi} \sin \vartheta_0 d\varphi = 2\pi \sin \vartheta_0$$

I już. Długość (obwód) równoleżnika na szerokości $\vartheta_0$ wynosi $2\pi \vartheta_0$ (na sferze o promieniu 1).

Tyle w tej części. W następnej opowiem, co to są geodezyjne, jak wygląda równanie geodezyjnej, policzymy sobie też równanie geodezyjnej na płaszczyźnie i na sferze. Do następnego razu!