Masa relatywistyczna

ebvalaim 2019-04-22 0 Comments

Kiedy wprowadza się temat Szczególnej Teorii Względności w szkole (o ile się jeszcze wprowadza - nie śledzę zmian w programie), jednym z pojęć, o którym się mówi, jest tzw. "masa relatywistyczna".

Jedną z konsekwencji teorii względności jest to, że im szybciej porusza się ciało, tym trudniej je bardziej rozpędzić, czyli rośnie jego bezwładność. Ponieważ od początku lekcji fizyki mówi się, że miarą bezwładności jest masa, kusi, żeby wytłumaczyć ten efekt wzrostem masy właśnie. Dzieli się wobec tego pojęcie masy na "masę spoczynkową" - masę, którą ciało ma w bezruchu - i "masę relatywistyczną" - czyli masę ciała w ruchu, większą od spoczynkowej. Od razu jeszcze równania robią się ładniejsze, bo kiedy przez $m$ oznaczy się masę relatywistyczną, można zawsze napisać $E = mc^2$, a pęd wyraża się ciągle znanym z fizyki klasycznej wzorem $p = mv$ (w wersjach z masą spoczynkową pojawia się jeszcze brzydki pierwiastek w mianowniku - zobaczymy to potem). Żyć, nie umierać.

Jeśli śledzicie w internecie artykuły lub dyskusje na temat teorii względności, pewnie nieraz słyszeliście wzmianki o masie relatywistycznej. Często tłumaczy się tym niemożliwość osiągnięcia prędkości światła ("bo masa urosłaby do nieskończoności"), albo czasem ktoś spyta, czy jak ciało się odpowiednio rozpędzi, to może się stać czarną dziurą przez wzrost masy (nie może). Relatywistyczny wzrost masy traktuje się w takich kontekstach jako fakt, pewnik.

Cóż, tym wpisem chciałbym ten stan rzeczy nieco zaburzyć ;) Okazuje się bowiem, że przy bliższym spojrzeniu pojęcie masy relatywistycznej traci wiele swojego uroku. W efekcie fizycy akademiccy raczej tego pojęcia nie używają i można się na nie natknąć właściwie tylko w szkole, w dyskusjach internetowych i w artykułach popularnonaukowych. Przyjrzyjmy się więc dokładniej, co jest tego powodem.

Wzrost bezwładności

Zaraz, zaraz - sam przecież wspomniałem, że bezwładność ciał w ruchu rośnie, a miarą bezwładności jest masa. A teraz mówię, że masa nie rośnie? O co tu chodzi?

W fizyce przedrelatywistycznej sprawa była prosta. Kiedy na ciało zadziałało się siłą, to przyspieszało - i stosunek tej siły do przyspieszenia to właśnie masa. Czyli im trudniej ciało rozpędzić - im mniejsze przyspieszenie przy tej samej sile - tym większa masa. Równaniem można to zapisać jako $a = \frac{F}{m}$.

Co więcej, ciało zawsze przyspiesza w tym samym kierunku, w którym działa siła (co wydaje się oczywiste... ale nie uprzedzajmy faktów). Można w rezultacie związek powyżej zapisać nawet wektorowo, i dalej będzie dobrze: $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}$. W ten sposób uwzględniliśmy, że siły mogą działać w różnych kierunkach, i nadal potrafimy policzyć, jakie będzie przyspieszenie.

Co w tym obrazku zmienia teoria względności?

Zostańmy na razie przy podziale na masę spoczynkową i relatywistyczną. Ciało w spoczynku ma masę $m_0$. Zgodnie z ideą masy relatywistycznej, w ruchu masa rośnie do:

$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Ten brzydki pierwiastek w mianowniku zwykle oznacza się jako $\frac{1}{\gamma}$, co pozwala zapisać masę relatywistyczną jako:

$$m = m_0 \gamma$$

Gdy prędkość jest 0, $\gamma = 1$ i masa relatywistyczna jest po prostu równa masie spoczynkowej.

Ok, fajnie. Wprowadziliśmy masę relatywistyczną, bo chcieliśmy we wzroście masy ująć wzrost bezwładności. Czy możemy więc dzięki temu dalej pisać, że $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{\vec{F}}{m_0 \gamma}$?

Cóż... prawie. Okazuje się, że możemy - ale tylko wtedy, gdy siła jest prostopadła do kierunku ruchu! Gdy jest równoległa, wygląda to inaczej - wtedy przyspieszenie musimy liczyć tak: $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m_0 \gamma^3}$ (dla zainteresowanych, wyprowadzenie będzie niżej).

Chwileczkę... co to właściwie znaczy? Ano znaczy to, że ciało ma większą bezwładność wzdłuż kierunku ruchu, niż w poprzek. Czyli jeśli chcemy znaleźć przyspieszenie ciała po zadziałaniu na nie siłą, to nie możemy po prostu podzielić siły przez masę - musimy rozbić siłę na składową podłużną i składową poprzeczną, podzielić je przez różne liczby i dopiero złożyć w jedno przyspieszenie. Efekt jest taki, że jeśli siła działa pod kątem do prędkości, to przyspieszenie może nawet nie być do niej równoległe!

Wniosek jest taki, że "masa relatywistyczna" nie rozwiązuje problemu miary bezwładności. Nie ma nawet jednej sensownej liczby mierzącej bezwładność, bo teraz zależy ona od kierunku! (Da się wciąż wprowadzić wielkość, która mierzy bezwładność - ale w teorii względności musi ona być tzw. tensorem drugiego rzędu, zapisywanym jako macierz).

Pierwszy punkt przeciw masie relatywistycznej.

Zderzenia

Jednym ze sposobów porównywania mas ciał jest zderzanie ich ze sobą. Jeśli masywniejsze ciało uderza w spoczywające mniej masywne, to masywniejsze tylko lekko zwalnia, a mniej masywne jest odbijane z dużą prędkością. I odwrotnie - jeśli to mniej masywne uderzy w spoczywające masywniejsze, mniej masywne się odbija, a masywniejsze uzyskuje tylko niewielką prędkość.

W jednym szczególnym przypadku, jeśli ciało uderza w inne, spoczywające, o takiej samej masie - to pierwsze ciało się zatrzyma, a drugie odleci z taką samą prędkością, jaką miało pierwsze przed zderzeniem. Jedną z bardziej znanych ilustracji tego faktu jest tzw. kołyska Newtona.

Dokładne równania na prędkości po zderzeniu w zależności od prędkości przed zderzeniem i mas zderzających się ciał da się wyprowadzić z zasad zachowania energii i pędu. Tu nie będziemy tego robić, zostaniemy jedynie przy intuicyjnym rozumieniu opisanym wyżej.

Pytanie jest zatem takie: co się stanie, jeśli zderzają się dwa ciała o takiej samej masie spoczynkowej, ale różnej relatywistycznej? Na przykład, co jeśli jedna kulka o masie 1 grama spoczywa, a druga taka sama, ale rozpędzona tak, że jej współczynnik $\gamma = 100$ (czyli jej masa relatywistyczna jest 100 gramów) w nią uderzy? Czy zachowają się tak, jak ciała o różnych masach (rozpędzona kulka nieco zwolni, a spoczywająca ruszy z pewną prędkością), czy jak o równych (rozpędzona zatrzyma się, a spoczywająca odleci z taką samą prędkością)?

Odpowiedzi znowu należy szukać w zasadach zachowania energii i pędu, tylko zgodnych z teorią względności. Pełne równania rozpiszę dla zainteresowanych niżej, a tu podam jedynie wynik: otóż okazuje się, że kulki z przykładu powyżej zachowają się jak ciała o takich samych masach. Czyli w zderzeniach masa relatywistyczna jest kompletnie nieistotna - liczy się tylko masa spoczynkowa.

Drugi punkt przeciw masie relatywistycznej.

Duplikowanie pojęć

To jest argument mniej fizyczny, a bardziej techniczny, ale również ma jakąś wagę.

Fizycy lubią upraszczać sobie życie. Jednym z uproszczeń, jakie lubią stosować, jest eliminowanie stałych przyrody z równań. Już wyjaśniam.

Weżmy za przykład taką prędkość światła. Można sprawdzić w jakichś tablicach albo internecie, że wynosi ona 299 792 458 m/s. Liczba dość brzydka, ale nie mamy wpływu na to, jak natura dobrała sobie prędkość fal elektromagnetycznych... czy może mamy?

Ta konkretna liczba wynika tylko z doboru jednostek. Gdybyśmy chcieli wyrazić prędkość światła np. w stopach na sekundę, liczba byłaby inna. Gdybyśmy mierzyli w metrach na rok - jeszcze inna. Hmm... A może ułatwić sobie życie, i zdefiniować jednostki tak, żeby ta liczba była jakaś prostsza? Na przykład... po prostu 1?

Można tak zrobić i dokładnie to robią fizycy. Przykładowym wyborem jednostek mogą być sekunda i sekunda świetlna. Albo rok i rok świetlny. Albo jakakolwiek jednostka czasu i odległość, jaką światło przebywa w ciągu tej jednostki. Jeśli przyjmiemy taki układ jednostek, mamy wtedy $c = 1$. I jak za dotknięciem magicznej różdżki, $c$ znika ze wszystkich wzorów, bo czy dzielimy przez 1, czy mnożymy - nigdy nic to nie zmienia.

(Fizycy lubią iść nawet dalej i likwidować więcej stałych. Popularnym wyborem są jednostki, w których $c = G = \hbar = 1$ - czyli do jedynki sprowadza się prędkość światła, stałą grawitacyjną i zredukowaną stałą Plancka. Takie jednostki to tzw. jednostki naturalne, albo... jednostki Plancka - podstawowymi jednostkami są w tym układzie długość Plancka, czas Plancka i masa Plancka.)

Dobrze, ale po co o tym wszystkim mówię? Ano zobaczmy, co się dzieje w takich jednostkach ze słynnym wzorem Einsteina na energię:

$$E = mc^2 = m_0 \gamma c^2$$

Gdy wprowadzimy jednostki, w których $c=1$, dostajemy:

$$E = m = m_0 \gamma$$

W takich jednostkach masa relatywistyczna wynosi zawsze tyle samo, co energia! Jest wobec tego de facto duplikatem pojęcia energii. Wszędzie tam, gdzie korzystalibyśmy z masy relatywistycznej, można wstawić po prostu energię (w innych jednostkach: $\frac{E}{c^2}$), i nic się nie zmieni. Po co nam wobec tego takie dodatkowe pojęcie?

Trzeci punkt przeciwko masie relatywistycznej.

Podsumowanie

Jak widać, wprowadzenie pojęcia masy relatywistycznej niewiele daje. Masa relatywistyczna nie sprawdza się jako miara bezwładności, jest bezużyteczna w zderzeniach, i jest de facto duplikatem pojęcia energii. Z tych powodów fizycy zarzucili używanie tego pojęcia - dziś, kiedy mowa o masie, chodzi praktycznie zawsze o masę spoczynkową.

W związku z tym apeluję do Was, Czytelnicy - przestańmy mówić, że masa ciał w ruchu rośnie. Przestańmy mówić, że masa robi się nieskończona przy prędkości światła. Śmiało można w tym kontekście za "masa" wstawić "bezwładność", albo - skoro to niemal równoznaczne masie relatywistycznej pojęcie - "energia". Zarówno bezwładność jak i energia rosną i dążą do nieskończoności, gdy prędkość dąży do $c$. Masa niech pozostanie wielkością stałą dla konkretnego ciała.

---

Równania

Dwa kluczowe równania, które będą potrzebne, to relatywistyczne wyrażenia na energię i pęd:

$$E = m \gamma c^2$$

$$\vec{p} = m \gamma \vec{v}$$

W obu tych równaniach $m$ jest masą "spoczynkową" - zapominamy o istnieniu czegoś takiego, jak masa relatywistyczna.

Przy czym, jak zawsze:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Bezwładność

Naszym celem będzie wyrażenie przyspieszenia $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ przez siłę, masę i prędkość.

Jako definicję siły przyjmiemy sobie wzór, który jest prawdziwy także w fizyce nierelatywistycznej:

$$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

Wzór na pęd mamy, trzeba się zabrać do różniczkowania ;) Mamy więc:

$$\vec{F} = m\frac{d\gamma}{dt}\vec{v} + m \gamma \frac{d\vec{v}}{dt} = m\frac{d\gamma}{dt}\vec{v} + m\gamma \vec{a}$$

Ten drugi składnik mocno przypomina siłę znaną z fizyki newtonowskiej (gdybyśmy użyli masy relatywistycznej), ale jest jeszcze pierwszy składnik. Skupmy się na razie na samej pochodnej $\gamma$:

$$\frac{d\gamma}{dt} = \frac{d}{dt} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = -\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}^3} \left(-\frac{1}{c^2} \right) \frac{d(v^2)}{dt} = \frac{\gamma^3}{2c^2} \frac{d(v^2)}{dt}$$

W tym miejscu zauważamy, że $v^2$ to nic innego, jak $\vec{v} \cdot \vec{v}$, czyli iloczyn skalarny wektora prędkości z samym sobą. Iloczyn skalarny zachowuje się względem różniczkowania jak zwykłe mnożenie, więc:

$$\frac{d(v^2)}{dt} = 2\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt} = 2\vec{v}\cdot\vec{a}$$

Stąd mamy:

$$\vec{F} = m \frac{\gamma^3 \vec{v}\cdot\vec{a}}{c^2} \vec{v} + m\gamma \vec{a}$$

(Zapamiętajmy tę postać równania, jeszcze do niej wrócimy na chwilę.)

Teraz zwróćmy uwagę na pewną własność iloczynu skalarnego: mianowicie, że $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cos \alpha$, gdzie $a$ i $b$ to wartości odpowiednich wektorów, a $\alpha$ jest kątem między wektorami. W szczególności, jeśli wektory są prostopadłe, to iloczyn skalarny jest zero, a jeśli są równoległe, to jest równy iloczynowi wartości wektorów (z dokładnością do znaku).

W związku z tym, nasze $\vec{v} \cdot \vec{a}$ możemy zapisać jako $va_{\|}$, gdzie $a_{\|}$ to składowa równoległa przyspieszenia, a dokładniej - rzut przyspieszenia na kierunek prędkości (ujemny jeśli kąt między przyspieszeniem a prędkością przekraczał 90 stopni). Składowa prostopadła nie ma tu żadnego wkładu.

Z kolei $\vec{v}$ możemy zapisać jako $v\vec{e}_v$ - gdzie $\vec{e}_{v}$ to wektor jednostkowy (o wartości 1), o kierunku i zwrocie takim samym jak prędkość.

Dzięki tym sztuczkom, pierwszy składnik da się zapisać jako:

$$m \frac{\gamma^3 \vec{v}\cdot\vec{a}}{c^2} \vec{v} = m\gamma^3\frac{v^2 a_{\|}}{c^2} \vec{e}_v$$

Zauważmy teraz, że $a_{\|}\vec{e}_v$ to wektor o kierunku prędkości, zwrocie zależnym od znaku rzutu przyspieszenia na kierunek prędkości, i wartości równej temu rzutowi - czyli jest to nic innego, jak równoległa składowa przyspieszenia $\vec{a}_{\|}$! Rozbijmy jeszcze w drugim składniku siły $\vec{a}$ na $\vec{a}_{\|} + \vec{a}_{\bot}$ i otrzymamy:

$$\vec{F} = m\gamma^3\frac{v^2}{c^2}\vec{a}_{\|} + m\gamma(\vec{a}_{\|} + \vec{a}_{\bot}) = m\gamma\left(1 + \gamma^2\frac{v^2}{c^2}\right)\vec{a}_{\|} + m\gamma\vec{a}_{\bot}$$

Pozostało już tylko uprościć $1 + \gamma^2\frac{v^2}{c^2}$:

$$1 + \gamma^2\frac{v^2}{c^2} = 1 + \frac{\frac{v^2}{c^2}}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1 - \frac{v^2}{c^2}}{1 - \frac{v^2}{c^2}} + \frac{\frac{v^2}{c^2}}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \gamma^2$$

Stąd ostateczne równanie:

$$\vec{F} = m\gamma^3\vec{a}_{\|} + m\gamma\vec{a}_{\bot}$$

Zatem:

$$\vec{a}_{\|} = \frac{\vec{F}_{\|}}{m \gamma^3}$$

$$\vec{a}_{\bot} = \frac{\vec{F}_{\bot}}{m \gamma}$$

Wracając jeszcze na chwilę do równania, przy którym zaznaczyłem, żeby je zapamiętać - chodzi o postać, w której wciąż występowało $(\vec{v}\cdot\vec{a})\vec{v}$. Okazuje się, że takie coś można zapisać jako:

$$(\vec{v}\cdot\vec{a})\vec{v} = (\vec{v}\otimes\vec{v})\vec{a}$$

gdzie $\vec{v}\otimes\vec{v}$ jest macierzą 3x3, o współczynnikach:

$$a_{ij} = v_i v_j$$

Całość równania można wtedy zapisać jako:

$$\vec{F} = m\gamma\left(\mathbf{1} + \frac{\gamma^2}{c^2} \vec{v} \otimes \vec{v} \right)\vec{a}$$

gdzie $\mathbf{1}$ jest macierzą jednostkową. Ten zapis przedstawia siłę jako przyspieszenie wymnożone przez macierz 3x3 - tę macierz wspominałem jako możliwe wyrażenie miary bezwładności.

Zderzenia

Rozważmy zderzenie dwóch ciał o masach spoczynkowych $m$, z których jedno jest rozpędzone do prędkości $v$, a drugie spoczywa. Ciało spoczywające ma energię i pęd:

$$E_1 = mc^2$$

$$p_1 = 0$$

a ciało rozpędzone:

$$E_2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

$$p_2 = \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Całkowita energia i pęd układu wynoszą wobec tego:

$$E = E_1 + E_2$$

$$p = p_1 + p_2$$

Załóżmy, że po zderzeniu nasze dwa ciała zyskują prędkości $v_1$ i $v_2$. Całkowita energia i pęd wynoszą więc:

$$E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}} + \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v_2^2}{c^2}}}$$

$$p = \frac{mv_1}{\sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}} + \frac{mv_2}{\sqrt{1-\frac{v_2^2}{c^2}}}$$

Zgodnie z zasadami zachowania energii i pędu, te sumaryczne energia i pęd muszą być dokładnie równe wartościom sprzed zderzenia. To daje dwa równania na dwie niewiadome $v_1$, $v_2$.

Jednym oczywistym rozwiązaniem jest $v_1 = v$, $v_2 = 0$ - jest to po prostu sytuacja sprzed zderzenia. Jednak, ze względu na symetrię, równie oczywistym drugim rozwiązaniem jest: $v_1 = 0$, $v_2 = v$. To drugie rozwiązanie musi zatem odpowiadać sytuacji po zderzeniu (można sprawdzić, że nie ma innych rozwiązań) - ciała zachowają się więc tak, że jedno się zatrzyma, a drugie ruszy z taką samą prędkością, jaką miało pierwsze przed zderzeniem.

Czyli zachowają się dokładnie jak ciała o równych masach.