Część 1 - pochodne cząstkowe

ebvalaim 2015-06-10 0 Comments

Spis treści serii

Jak wspomniałem we wstępie, zakładam, że Czytelnik zna pojęcie pochodnej funkcji. Jest to dobra podstawa, ale żeby wgłębić się w teorię względności, potrzebujemy to pojęcie nieco rozszerzyć. Zapoznamy się zatem z pochodną cząstkową. Cóż to takiego?

Przypomnijmy sobie najpierw zwykłą pochodną. Pochodną funkcji $f(x)$ zapisujemy jako $f'(x)$ lub $\frac{df}{dx}$. Oznacza ona, łopatologicznie mówiąc, tempo zmiany funkcji f w miarę zmieniania argumentu x. Przykładowo, gdy $f(x) = x^2$, $\frac{df}{dx} = 2x$.

Co jednak, gdy funkcja zależy od więcej niż jednej zmiennej? Np. możemy mieć funkcję $f(x,y) = x^2 + y^2$, która każdemu punktowi płaszczyzny przypisze kwadrat jego odległości od początku układu współrzędnych. Jak w ogóle określić pochodną takiej funkcji?

Ten problem załatwia właśnie pochodna cząstkowa. Pochodną cząstkową można policzyć względem którejkolwiek ze zmiennych, w tym wypadku możliwe są zatem dwie: $\frac{\partial f}{\partial x}$ oraz $\frac{\partial f}{\partial y}$ (dla uproszczenia zapisuje się to czasem jako $f_{,x}$ i $f_{,y}$ lub $\partial_x f$ i $\partial_y f$). Pochodną cząstkową liczy się w ten sposób, że jedynie zmienną po której różniczkujemy traktujemy jako zmienną, a wszystkie pozostałe jak stałe.

Żeby zaprezentować, na czym to polega, wykorzystamy funkcję liniową $f(x) = ax$, gdzie $a$ jest pewną stałą. Pochodna tej funkcji to $f'(x) = a$. Gdyby $a$ od początku było zmienną - to właśnie byłaby pochodna cząstkowa po x! Mając funkcję $f(a,x) = ax$ i traktując $a$ jak stałą, otrzymujemy dokładnie opisaną sytuację. Zatem $\frac{\partial f(a,x)}{\partial x} = a$. Gdybyśmy trochę zmienili oznaczenia i zamiast $a$ napisali $y$, otrzymalibyśmy:
$f(x, y) = xy$
$\frac{\partial f}{\partial x} = y$

Z drugiej strony, możemy $x$ potraktować jak stałą, a $y$ jak zmienną i obliczyć $\frac{\partial f}{\partial y}$ - sprawa jest dokładnie analogiczna i w tym przypadku otrzymujemy $x$.

Wróćmy do naszej początkowej funkcji, kwadratu odległości. Licząc $\partial_x f$ przyjmujemy $y$ za stałą - co oznacza, że cały kawałek $y^2$ jest stały i przy różniczkowaniu zniknie. Musimy zatem obliczyć jedynie pochodną $x^2$, co daje nam, że $\partial_x f = 2x$. I już.

A co z pochodną po $y$? To samo, tylko teraz to $x^2$ jest stałe i otrzymujemy w efekcie $\partial_y f = 2y$.

W przypadku pochodnych cząstkowych, tak jak w przypadku zwykłych pochodnych, możliwe są pochodne wyższego rzędu (druga pochodna, trzecia pochodna itp.). Liczy się je dokładnie tak samo, jak w przypadku zwykłych - różniczkując funkcję, następnie znów różniczkując wynik itd. Jedyna różnica jest taka, że w przypadku pochodnych cząstkowych, możliwych pochodnych wyższego rzędu jest więcej. Powód jest prosty - za każdym razem możemy różniczkować po jednej z wielu zmiennych.

Powiedzmy, że mamy funkcję $n$ zmiennych: $f(x_1, x_2, ..., x_n)$. Możliwych pierwszych pochodnych mamy $n$: $\frac{\partial f}{\partial x_1}$, $\frac{\partial f}{\partial x_2}$, ... , $\frac{\partial f}{\partial x_n}$.

Drugich pochodnych mamy już $n^2$: $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}$, ..., $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}$, ..., $\frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}$.

Trzecich pochodnych byłoby $n^3$, itd.

Nie jest to jednak do końca prawda. Nie wszystkie wymienione pochodne są różne. Okazuje się, że różniczkowanie względem różnych zmiennych jest przemienne, tzn. nie ma znaczenia, czy najpierw zróżniczkujemy po $x_i$, a potem po $x_j$, czy na odwrót: $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$.

Jeszcze jedna rzecz, o której warto wspomnieć, to że często napisy typu $\frac{\partial}{\partial x}$ czy $\partial_x$ traktuje się jako samodzielne obiekty - operatory różniczkowe. Operator różniczkowy to zatem po prostu takie coś, co zastosowane do funkcji różniczkuje ją. Operatory różniczkowe możemy też "mnożyć", tworząc operatory wyższych rzędów: $\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}$ (tu dopiero widać, skąd się bierze zapis pochodnych wyższego rzędu - czemu w "liczniku" "potęgowany" jest sam symbol pochodnej, a w "mianowniku" cały zapis typu $\partial x$). Można tworzyć z nich też inne rzeczy, ale o tym będzie w następnej części.

Polecam policzenie sobie pochodnych cząstkowych jakichś funkcji dla nabrania wprawy. Przykładowe funkcje:

• $f(x, y) = x \sin y$
• $g(u,v) = u\left(1 - \frac{2}{v}\right)$

Zadanie - obliczyć ich wszystkie pierwsze i drugie pochodne. Chętnym sprawdzę rozwiązania ;)