Jak wspomniałem we wstępie, zakładam, że Czytelnik zna pojęcie pochodnej funkcji. Jest to dobra podstawa, ale żeby wgłębić się w teorię względności, potrzebujemy to pojęcie nieco rozszerzyć. Zapoznamy się zatem z pochodną cząstkową. Cóż to takiego?
Przypomnijmy sobie najpierw zwykłą pochodną. Pochodną funkcji zapisujemy jako lub . Oznacza ona, łopatologicznie mówiąc, tempo zmiany funkcji f w miarę zmieniania argumentu x. Przykładowo, gdy , .
Co jednak, gdy funkcja zależy od więcej niż jednej zmiennej? Np. możemy mieć funkcję , która każdemu punktowi płaszczyzny przypisze kwadrat jego odległości od początku układu współrzędnych. Jak w ogóle określić pochodną takiej funkcji?
Ten problem załatwia właśnie pochodna cząstkowa. Pochodną cząstkową można policzyć względem którejkolwiek ze zmiennych, w tym wypadku możliwe są zatem dwie: oraz (dla uproszczenia zapisuje się to czasem jako i lub i ). Pochodną cząstkową liczy się w ten sposób, że jedynie zmienną po której różniczkujemy traktujemy jako zmienną, a wszystkie pozostałe jak stałe.
Żeby zaprezentować, na czym to polega, wykorzystamy funkcję liniową , gdzie jest pewną stałą. Pochodna tej funkcji to . Gdyby od początku było zmienną - to właśnie byłaby pochodna cząstkowa po x! Mając funkcję i traktując jak stałą, otrzymujemy dokładnie opisaną sytuację. Zatem . Gdybyśmy trochę zmienili oznaczenia i zamiast napisali , otrzymalibyśmy:
Z drugiej strony, możemy potraktować jak stałą, a jak zmienną i obliczyć - sprawa jest dokładnie analogiczna i w tym przypadku otrzymujemy .
Wróćmy do naszej początkowej funkcji, kwadratu odległości. Licząc przyjmujemy za stałą - co oznacza, że cały kawałek jest stały i przy różniczkowaniu zniknie. Musimy zatem obliczyć jedynie pochodną , co daje nam, że . I już.
A co z pochodną po ? To samo, tylko teraz to jest stałe i otrzymujemy w efekcie .
W przypadku pochodnych cząstkowych, tak jak w przypadku zwykłych pochodnych, możliwe są pochodne wyższego rzędu (druga pochodna, trzecia pochodna itp.). Liczy się je dokładnie tak samo, jak w przypadku zwykłych - różniczkując funkcję, następnie znów różniczkując wynik itd. Jedyna różnica jest taka, że w przypadku pochodnych cząstkowych, możliwych pochodnych wyższego rzędu jest więcej. Powód jest prosty - za każdym razem możemy różniczkować po jednej z wielu zmiennych.
Powiedzmy, że mamy funkcję zmiennych: . Możliwych pierwszych pochodnych mamy : , , ... , .
Drugich pochodnych mamy już : , , ..., , , , ..., .
Trzecich pochodnych byłoby , itd.
Nie jest to jednak do końca prawda. Nie wszystkie wymienione pochodne są różne. Okazuje się, że różniczkowanie względem różnych zmiennych jest przemienne, tzn. nie ma znaczenia, czy najpierw zróżniczkujemy po , a potem po , czy na odwrót: .
Jeszcze jedna rzecz, o której warto wspomnieć, to że często napisy typu czy traktuje się jako samodzielne obiekty - operatory różniczkowe. Operator różniczkowy to zatem po prostu takie coś, co zastosowane do funkcji różniczkuje ją. Operatory różniczkowe możemy też "mnożyć", tworząc operatory wyższych rzędów: (tu dopiero widać, skąd się bierze zapis pochodnych wyższego rzędu - czemu w "liczniku" "potęgowany" jest sam symbol pochodnej, a w "mianowniku" cały zapis typu ). Można tworzyć z nich też inne rzeczy, ale o tym będzie w następnej części.
Polecam policzenie sobie pochodnych cząstkowych jakichś funkcji dla nabrania wprawy. Przykładowe funkcje:
Zadanie - obliczyć ich wszystkie pierwsze i drugie pochodne. Chętnym sprawdzę rozwiązania ;)